inverselaplace s/((s+2)(s^2+4))

解

逆ラプラス

\frac{s}{( s + 2 ) ( s ^{2} + 4 )}

- \frac{1}{4} e^{- 2 t} + \frac{1}{4} cos (2 t) + \frac{sin ( 2 t )}{4}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s}{( s + 2 ) ( s ^{2} + 4 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s}{( s + 2 ) ( s ^{2} + 4 )} : - \frac{1}{4 ( s + 2 )} + \frac{s + 2}{4 ( s ^{2} + 4 )}

= L^{- 1} {- \frac{1}{4 ( s + 2 )} + \frac{s + 2}{4 ( s ^{2} + 4 )}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{s}{4 ( s ^{2} + 4 )} + \frac{2}{4 ( s ^{2} + 4 )} - \frac{1}{4 ( s + 2 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - \frac{1}{4} L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} + \frac{1}{4} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4}} + \frac{2}{4} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} : e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4}} : cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 4}} : \frac{1}{2} sin (2 t)

= - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + \frac{1}{4} cos (2 t) + \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

- \frac{1}{4} e^{- 2 t} + \frac{1}{4} cos (2 t) + \frac{2}{4} \frac{1}{2} sin (2 t) : - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + \frac{1}{4} cos (2 t) + \frac{sin ( 2 t )}{4}

= - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + \frac{1}{4} cos (2 t) + \frac{sin ( 2 t )}{4}