интеграл от 1/(pisqrt(x(1-x)))

Решение

\int \frac{1}{π x ( 1 - x )} d x

\frac{1}{π} arcsin (2 x - 1) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{π x ( 1 - x )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{1}{x ( 1 - x )} d x

Расширить

x (1 - x) : x - x^{2}

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{1}{x - x ^{2}} d x

Заполните квадрат

x - x^{2} : - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{1}{- ( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}} d x

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{2}{- 4 u ^{2} + 1} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- 4 u ^{2} + 1} d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{2} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 d v

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v

Делаем обратную замену

= \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (2 (x - \frac{1}{2}))

Упростите

\frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) : \frac{1}{π} arcsin (2 x - 1)

= \frac{1}{π} arcsin (2 x - 1)

Добавить константу к решению

= \frac{1}{π} arcsin (2 x - 1) + C