integral of (sin(x))/(1+sin^2(x))

Lösung

\int \frac{sin ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

- \frac{1}{2 2} (ln \frac{cos ( x )}{2} + 1 - ln \frac{cos ( x )}{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{sin ( x )}{- cos ^{2} ( x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{- u ^{2} + 2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 2} d u

Wende integrale Substitution an

= - \int \frac{1}{2 ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= - \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= - \frac{1}{2} \frac{ln \frac{c o s ( x )}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{c o s ( x )}{2} - 1}{2}

Vereinfache

- \frac{1}{2} \frac{ln \frac{c o s ( x )}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{c o s ( x )}{2} - 1}{2} : - \frac{1}{2 2} (ln \frac{cos ( x )}{2} + 1 - ln \frac{cos ( x )}{2} - 1)

= - \frac{1}{2 2} (ln \frac{cos ( x )}{2} + 1 - ln \frac{cos ( x )}{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2 2} (ln \frac{cos ( x )}{2} + 1 - ln \frac{cos ( x )}{2} - 1) + C

\frac{\partial}{\partial θ} (sin (θ) cos (φ))

\int 4 x - 6 x y^{2} - 2 d x

t^{2} y^{^{''}} + 19 t y^{^{'}} + 130 y = 0

\frac{d}{d x} (\frac{- x ^{2}}{x + 1})

n = 1 \sum \infty \frac{( n + 6 )}{2}