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integral of t^3e^{-2t}

Lösung

\int t^{3} e^{- 2 t} d t

Lösung

\frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 t} t^{3} - 3 (4 e^{- 2 t} t^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 t} t - e^{- 2 t}))) + C

Schritte zur Lösung

\int t^{3} e^{- 2 t} d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u} u ^{3}}{16} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \int e^{u} u^{3} d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{16} (u^{3} e^{u} - \int 3 u^{2} e^{u} d u)

\int 3 u^{2} e^{u} d u = 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

= \frac{1}{16} (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

Setze in

u = - 2 t

ein

= \frac{1}{16} ((- 2 t)^{3} e^{- 2 t} - 3 ((- 2 t)^{2} e^{- 2 t} - 2 (e^{- 2 t} (- 2 t) - e^{- 2 t})))

Vereinfache

\frac{1}{16} ((- 2 t)^{3} e^{- 2 t} - 3 ((- 2 t)^{2} e^{- 2 t} - 2 (e^{- 2 t} (- 2 t) - e^{- 2 t}))) : \frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 t} t^{3} - 3 (4 e^{- 2 t} t^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 t} t - e^{- 2 t})))

= \frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 t} t^{3} - 3 (4 e^{- 2 t} t^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 t} t - e^{- 2 t})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 t} t^{3} - 3 (4 e^{- 2 t} t^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 t} t - e^{- 2 t}))) + C

Graph

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