integral of (sqrt(9-x^2))

Lösung

\int (9 - x^{2}) d x

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 9 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} x)

ein

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) : \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

a re a \frac{( x ^{2} )}{2}, x + 4

d er i v a t i v e f (θ) = sin (θ) cos (θ)

\int tan (10 x) d x

x \to \infty lim (x - \frac{1}{x})

\int_{1}^{\infty} \frac{6}{x ^{3}} d x