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人気のある微分積分 >

integral of (e^x)/(e^x(e^x-3))

解

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} ( e ^{x} - 3 )} d x

解

- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} ( e ^{x} - 3 )} d x

共通因数を約分する:

e^{x}

= \int \frac{1}{e ^{x} - 3} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ( u - 3 )} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u ( u - 3 )} : - \frac{1}{3 u} + \frac{1}{3 ( u - 3 )}

= \int - \frac{1}{3 u} + \frac{1}{3 ( u - 3 )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{1}{3 ( u - 3 )} d u

\int \frac{1}{3 u} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{3 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u - 3 ∣

= - \frac{1}{3} ln ∣ u ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ u - 3 ∣

代用を戻す

u = e^{x}

= - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} ∣ = \frac{1}{3} x

= - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

グラフ

人気の例

derivative ((2x)^3)/5

d er i v a t i v e \frac{( 2 x ) ^{3}}{5}

(dy)/(dx)(y+4)=2xy+4y

\frac{d y}{d x} (y + 4) = 2 x y + 4 y

(xy^'-y)cos(y/x)+x=0

(x y^{^{'}} - y) cos (\frac{y}{x}) + x = 0

derivative of cos((x^3/(10)))

\frac{d}{d x} (cos (\frac{x ^{3}}{10}))

(dy)/(dx)=((x-3)^2)/(sqrt(x))

\frac{d y}{d x} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{x}