inverselaplace 4/((s^3+4s^2+8s))

解

逆ラプラス

\frac{4}{( s ^{3} + 4 s ^{2} + 8 s )}

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4}{( s ^{3} + 4 s ^{2} + 8 s )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{4}{s ^{3} + 4 s ^{2} + 8 s} : \frac{1}{2 s} + \frac{- s - 4}{2 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} + \frac{- s - 4}{2 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

拡張

\frac{- s - 4}{2 ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} : \frac{1}{2} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - 1 \cdot e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - 1 e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} sin (2 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} sin (2 t)