English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

интеграл с 0 до pi/6 от sqrt(1-cos(6x))

Решение

\int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - cos (6 x) d x

\frac{2}{3}

десятичными цифрами

0.47140 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - cos (6 x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2} 1 - cos (3 u) d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 - cos (3 u) d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} 1 - cos (\frac{3 v}{2}) d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} 1 - cos (\frac{3 v}{2}) d v

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{π} 1 - cos (w) \frac{2}{3} d w

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{π} 1 - cos (w) d w

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{π} 2 sin^{2} (\frac{w}{2}) d w

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin^{2} (\frac{w}{2}) d w

Примените правило возведения в степень:

a^{2} = ∣ a ∣

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (\frac{w}{2}) d w

Исключить абсолютные величины

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (\frac{w}{2}) d w

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t) \cdot 2 d t

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t) d t

Использовать общий интеграл:

\int sin (t) d t = - cos (t)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot 2 [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Упростите

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot 2 [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}} : \frac{2}{3} [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}}

= \frac{2}{3} [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Вычислить границы:

1

= \frac{2}{3} \cdot 1

После упрощения получаем

= \frac{2}{3}