inverselaplace ((s+5))/((s^2+4s+13))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{( s + 5 )}{( s ^{2} + 4 s + 13 )}

e^{- 2 t} cos (3 t) + e^{- 2 t} sin (3 t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{( s + 5 )}{( s ^{2} + 4 s + 13 )}}

展开

\frac{s + 5}{s ^{2} + 4 s + 13} : \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 9} + 3 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 9}

= L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 9} + 3 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 9}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 9}} + 3 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 9}} : e^{- 2 t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 9}} : e^{- 2 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= e^{- 2 t} cos (3 t) + 3 e^{- 2 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

整理

e^{- 2 t} cos (3 t) + 3 e^{- 2 t} \frac{1}{3} sin (3 t) : e^{- 2 t} cos (3 t) + e^{- 2 t} sin (3 t)

= e^{- 2 t} cos (3 t) + e^{- 2 t} sin (3 t)