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Popolare Trigonometria >

csc^2(x)-2csc(x)=2-4sin(x)

Soluzione

csc^{2} (x) - 2 csc (x) = 2 - 4 sin (x)

Soluzione

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Gradi

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

csc^{2} (x) - 2 csc (x) = 2 - 4 sin (x)

Sottrarre

2 - 4 sin (x)

da entrambi i lati

csc^{2} (x) - 2 csc (x) - 2 + 4 sin (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 2 + csc^{2} (x) - 2 csc (x) + 4 sin (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 2 + csc^{2} (x) - 2 csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= - 2 + csc^{2} (x) - 2 csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

- 2 + csc^{2} (x) + \frac{4}{csc ( x )} - 2 csc (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 + csc^{2} (x) + \frac{4}{csc ( x )} - 2 csc (x) = 0

Sia:

csc (x) = u

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0 : u = 2, u = - 2, u = 2

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 2 u + u^{2} u + \frac{4}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Semplificare

- 2 u + u^{2} u + \frac{4}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Semplificare

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= u^{3}

Semplificare

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 4

Semplificare

- 2 uu : - 2 u^{2}

- 2 uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 2 u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= - 2 u^{2}

Semplificare

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

Risolvi

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0 : u = 2, u = - 2, u = 2

- 2 u + u^{3} + 4 - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} - 2 u^{2} - 2 u + 4 = 0

Fattorizza

u^{3} - 2 u^{2} - 2 u + 4 : (u - 2) (u + 2) (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2} - 2 u + 4

= (u^{3} - 2 u^{2}) + (- 2 u + 4)

Fattorizza

- 2

- 2 u + 4 : - 2 (u - 2)

- 2 u + 4

Riscrivi

4

come

2 \cdot 2

= - 2 u + 2 \cdot 2

Fattorizzare dal termine comune

- 2

= - 2 (u - 2)

Fattorizza

u^{2}

u^{3} - 2 u^{2} : u^{2} (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - 2 u^{2}

Fattorizzare dal termine comune

u^{2}

= u^{2} (u - 2)

= - 2 (u - 2) + u^{2} (u - 2)

Fattorizzare dal termine comune

u - 2

= (u - 2) (u^{2} - 2)

Fattorizza

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u - 2) (u + 2) (u - 2)

(u - 2) (u + 2) (u - 2) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 2 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Risolvi

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u - 2 = 0

Aggiungi

2

ad entrambi i lati

u - 2 + 2 = 0 + 2

Semplificare

u = 2

u = 2

Risolvi

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u + 2 = 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

u + 2 - 2 = 0 - 2

Semplificare

u = - 2

u = - 2

Risolvi

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

u - 2 = 0

Aggiungi

2

ad entrambi i lati

u - 2 + 2 = 0 + 2

Semplificare

u = 2

u = 2

Le soluzioni sono

u = 2, u = - 2, u = 2

u = 2, u = - 2, u = 2

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 2 + u^{2} + \frac{4}{u} - 2 u

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 2, u = - 2, u = 2

Sostituire indietro

u = csc (x)

csc (x) = 2, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = 2, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Soluzioni generali per

csc (x) = 2

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = - 2

Soluzioni generali per

csc (x) = - 2

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2

Soluzioni generali per

csc (x) = 2

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

2cos^2(4x)-1=0

2 cos^{2} (4 x) - 1 = 0

cos(θ)=-1/(sqrt(2))

cos (θ) = - \frac{1}{2}

3sin(2t)+4=1

3 sin (2 t) + 4 = 1

solvefor x,cos(x)=0

so l v e f or x, cos (x) = 0

cos(x+pi/6)-cos(x-pi/6)=1

cos (x + \frac{π}{6}) - cos (x - \frac{π}{6}) = 1