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Popular Trigonometría >

csc^4(x)-4csc^2(x)=0

Solución

csc^{4} (x) - 4 csc^{2} (x) = 0

Solución

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc^{4} (x) - 4 csc^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

csc^{4} (x) - 4 csc^{2} (x) = 0

Sea:

csc (x) = u

u^{4} - 4 u^{2} = 0

u^{4} - 4 u^{2} = 0 : u = 2, u = - 2, u = 0

u^{4} - 4 u^{2} = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 4 v = 0

Resolver

v^{2} - 4 v = 0 : v = 4, v = 0

v^{2} - 4 v = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

v^{2} - 4 v = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 4, c = 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 4

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 4^{2} - 0

4^{2} - 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 4

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 \cdot 1} : 4

\frac{- ( - 4 ) + 4}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 + 4}{2 \cdot 1}

Sumar:

4 + 4 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8}{2}

Dividir:

\frac{8}{2} = 4

= 4

v = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- ( - 4 ) - 4}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 - 4}{2 \cdot 1}

Restar:

4 - 4 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = 4, v = 0

v = 4, v = 0

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = 4 : u = 2, u = - 2

u^{2} = 4

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 4, u = - 4

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= - 2

u = 2, u = - 2

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Las soluciones son

u = 2, u = - 2, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = 2, csc (x) = - 2, csc (x) = 0

csc (x) = 2, csc (x) = - 2, csc (x) = 0

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Soluciones generales para

csc (x) = 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2

Soluciones generales para

csc (x) = - 2

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 0 :

Sin solución

csc (x) = 0

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan^2(x)-2sec(x)=-1

cos(2θ)+14sin^2(θ)=10

cos^2(x)-1/4 =0

3(1-sin(x))=2cos^2(x)

|cos(x)|= 1/2