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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(3)sin(θ)+cos(θ)=1

Lösung

3 sin (θ) + cos (θ) = 1

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (θ) + cos (θ) = 1

Subtrahiere

cos (θ)

von beiden Seiten

3 sin (θ) = 1 - cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (θ))^{2} = (1 - cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(1 - cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

3 sin^{2} (θ) - 1 + 2 cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

- 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

3 (1 - cos^{2} (θ)) : 3 - 3 cos^{2} (θ)

3 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (θ)

= - 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ) : 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

- 1 - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 1 + 3

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = - 4 cos^{2} (θ)

= - 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1 + 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

2 + 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

2 + 2 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 2 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 6

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 6}{- 2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )} : 1

\frac{- 2 - 6}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 6}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 1

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 1

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (θ) + cos (θ) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

3 sin (θ) + cos (θ) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

3 sin (θ) + cos (θ) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) + cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 2 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

θ = 2 π 1

3 sin (θ) + cos (θ) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (2 π 1) + cos (2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(3)csc(x)+2=0

3 csc (x) + 2 = 0

2cos^2(x)=sin(x)-1

2 cos^{2} (x) = sin (x) - 1

tan(2x)=5sin(2x)

tan (2 x) = 5 sin (2 x)

2sin^2(x)-7sin(x)-4=0

2 sin^{2} (x) - 7 sin (x) - 4 = 0

sqrt(2)cos(2θ)+1=0

2 cos (2 θ) + 1 = 0