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Populaire Trigonométrie >

sqrt(2)sin(x)=cot(x)

Solution

2 sin (x) = cot (x)

Solution

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Degrés

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin (x) = cot (x)

Soustraire

cot (x)

des deux côtés

2 sin (x) - cot (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

2 sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = 0

Simplifier

2 sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )}

2 sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Convertir un élément en fraction:

2 sin (x) = \frac{2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) sin ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )}

2 sin (x) sin (x) - cos (x) = 2 sin^{2} (x) - cos (x)

2 sin (x) sin (x) - cos (x)

2 sin (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x)

2 sin (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x) - cos (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Ajouter

cos (x)

aux deux côtés

2 sin^{2} (x) = cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(2 sin^{2} (x))^{2} = cos^{2} (x)

Soustraire

cos^{2} (x)

des deux côtés

2 sin^{4} (x) - cos^{2} (x) = 0

Factoriser

2 sin^{4} (x) - cos^{2} (x) : (2 sin^{2} (x) + cos (x)) (2 sin^{2} (x) - cos (x))

2 sin^{4} (x) - cos^{2} (x)

Récrire

2 sin^{4} (x) - cos^{2} (x)

comme

(2 sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

2 sin^{4} (x) - cos^{2} (x)

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{4} (x) - cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (2)^{2} (sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} (sin^{2} (x))^{2} = (2 sin^{2} (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

= (2 sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = (2 sin^{2} (x) + cos (x)) (2 sin^{2} (x) - cos (x))

= (2 sin^{2} (x) + cos (x)) (2 sin^{2} (x) - cos (x))

(2 sin^{2} (x) + cos (x)) (2 sin^{2} (x) - cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

2 sin^{2} (x) + cos (x) = 0 or 2 sin^{2} (x) - cos (x) = 0

2 sin^{2} (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (x) + cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (x) + sin^{2} (x) 2

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) + (1 - cos^{2} (x)) 2

cos (x) + (1 - cos^{2} (x)) 2 = 0

Résoudre par substitution

cos (x) + (1 - cos^{2} (x)) 2 = 0

Soit :

cos (x) = u

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}, u = 2

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Développer

u + (1 - u^{2}) 2 : u + 2 - 2 u^{2}

u + (1 - u^{2}) 2

= u + 2 (1 - u^{2})

Développer

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Multiplier:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= u + 2 - 2 u^{2}

u + 2 - 2 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

1^{2} - 4 (- 2) 2

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 42 (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 1 + 422

422 = 8

422

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Additionner les nombres :

1 + 8 = 9

= 9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 2}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2 2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 2}

Soustraire les nombres :

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{2 2}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= 2

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{2}{2}, u = 2

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{2}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{2}{2} : x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) = - \frac{2}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) = 2 :

Aucune solution

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos (x) + sin^{2} (x) 2

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) + (1 - cos^{2} (x)) 2

- cos (x) + (1 - cos^{2} (x)) 2 = 0

Résoudre par substitution

- cos (x) + (1 - cos^{2} (x)) 2 = 0

Soit :

cos (x) = u

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - 2, u = \frac{2}{2}

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Développer

- u + (1 - u^{2}) 2 : - u + 2 - 2 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) 2

= - u + 2 (1 - u^{2})

Développer

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Multiplier:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= - u + 2 - 2 u^{2}

- u + 2 - 2 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 422

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

422 = 8

422

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Additionner les nombres :

1 + 8 = 9

= 9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 2}

Additionner les nombres :

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2 2}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{2}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 2}

Soustraire les nombres :

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2 2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 2, u = \frac{2}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = - 2 :

Aucune solution

cos (x) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = \frac{2}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 sin (x) = cot (x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{3 π}{4} + 2 πn :

Faux

\frac{3 π}{4} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{3 π}{4} + 2 π 1

Pour

2 sin (x) = cot (x)

insérer

x = \frac{3 π}{4} + 2 π 1

2 sin (\frac{3 π}{4} + 2 π 1) = cot (\frac{3 π}{4} + 2 π 1)

Redéfinir

1 = - 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{5 π}{4} + 2 πn :

Faux

\frac{5 π}{4} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{5 π}{4} + 2 π 1

Pour

2 sin (x) = cot (x)

insérer

x = \frac{5 π}{4} + 2 π 1

2 sin (\frac{5 π}{4} + 2 π 1) = cot (\frac{5 π}{4} + 2 π 1)

Redéfinir

- 1 = 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{π}{4} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{4} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{4} + 2 π 1

Pour

2 sin (x) = cot (x)

insérer

x = \frac{π}{4} + 2 π 1

2 sin (\frac{π}{4} + 2 π 1) = cot (\frac{π}{4} + 2 π 1)

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{7 π}{4} + 2 πn :

vrai

\frac{7 π}{4} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{7 π}{4} + 2 π 1

Pour

2 sin (x) = cot (x)

insérer

x = \frac{7 π}{4} + 2 π 1

2 sin (\frac{7 π}{4} + 2 π 1) = cot (\frac{7 π}{4} + 2 π 1)

Redéfinir

- 1 = - 1

\Rightarrow vrai

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

12cos^2(θ)=3

12 cos^{2} (θ) = 3

0=tan(x)

0 = tan (x)

sin(x)tan(x)-4tan(x)=0

sin (x) tan (x) - 4 tan (x) = 0

sec(θ/5)=sqrt(7)

sec (\frac{θ}{5}) = 7

csc^2(x)+2cot(x)=0

csc^{2} (x) + 2 cot (x) = 0