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Popolare Trigonometria >

cos(2x)=2cos(x)

Soluzione

cos (2 x) = 2 cos (x)

Soluzione

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Gradi

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 x) = 2 cos (x)

Sottrarre

2 cos (x)

da entrambi i lati

cos (2 x) - 2 cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 x) - 2 cos (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x)

- 1 - 2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 1 - 2 cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 1 - 2 u + 2 u^{2} = 0

- 1 - 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

- 1 - 2 u + 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 23

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Aggiungi i numeri:

4 + 8 = 12

= 12

Fattorizzazione prima di

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 3}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 3}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 3}{4}

Fattorizza

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Riscrivi come

= 2 \cdot 1 + 23

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2} : \frac{1 - 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 3}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 3}{4}

Fattorizza

2 - 23 : 2 (1 - 3)

2 - 23

Riscrivi come

= 2 \cdot 1 - 23

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 - 3)

= \frac{2 ( 1 - 3 )}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1 - 3}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Nessuna soluzione

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

cos (x) = \frac{1 - 3}{2} : x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin(θ)+sqrt(3)cos(θ)=1

sin (θ) + 3 cos (θ) = 1

6tan^2(x)-2=4

6 tan^{2} (x) - 2 = 4

cos(2x+pi/3)= 1/2

cos (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

solvefor x,tan(x*y!)=1

so l v e f or x, tan (x \cdot y!) = 1

sec^2(x)-5sec(x)=0

sec^{2} (x) - 5 sec (x) = 0