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Populaire Trigonométrie >

2cos(x)=cos(2x)

Solution

2 cos (x) = cos (2 x)

Solution

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Degrés

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos (x) = cos (2 x)

Soustraire

cos (2 x)

des deux côtés

2 cos (x) - cos (2 x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos (2 x) + 2 cos (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - (2 cos^{2} (x) - 1) + 2 cos (x)

- (2 cos^{2} (x) - 1) : - 2 cos^{2} (x) + 1

- (2 cos^{2} (x) - 1)

Distribuer des parenthèses

= - (2 cos^{2} (x)) - (- 1)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1 + 2 cos (x)

1 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 3}{2}, u = \frac{1 + 3}{2}

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 23

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Additionner les nombres :

4 + 8 = 12

= 12

Factorisation première de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

= 3 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 ( - 2 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 1 + 3}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 3}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 3}{4}

Annuler

\frac{- 2 + 2 3}{4} : \frac{3 - 1}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{4}

Factoriser

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 + 23

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{- 1 + 3}{2}

= - \frac{3 - 1}{2}

= - \frac{- 1 + 3}{2}

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 3}{- 4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 23 = - (2 + 23)

= \frac{2 + 2 3}{4}

Factoriser

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Récrire comme

= 2 \cdot 1 + 23

Factoriser le terme commun

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1 + 3}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{- 1 + 3}{2}, u = \frac{1 + 3}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

3cos^2(θ)+cos(θ)=0

cos^2(θ)=0.75

cos(y_{0})=((a_{0}*n_{0}))/(\mid)a_{0}\mid

tan(θ)=-6

8sin(x)tan(x)-7tan(x)=0