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Populaire Trigonométrie >

csc^3(x)+csc^2(x)=4csc(x)+4

Solution

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 4 csc (x) + 4

Solution

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Degrés

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 4 csc (x) + 4

Résoudre par substitution

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 4 csc (x) + 4

Soit :

csc (x) = u

u^{3} + u^{2} = 4 u + 4

u^{3} + u^{2} = 4 u + 4 : u = - 1, u = - 2, u = 2

u^{3} + u^{2} = 4 u + 4

Déplacer

4

vers la gauche

u^{3} + u^{2} = 4 u + 4

Soustraire

4

des deux côtés

u^{3} + u^{2} - 4 = 4 u + 4 - 4

Simplifier

u^{3} + u^{2} - 4 = 4 u

u^{3} + u^{2} - 4 = 4 u

Déplacer

4 u

vers la gauche

u^{3} + u^{2} - 4 = 4 u

Soustraire

4 u

des deux côtés

u^{3} + u^{2} - 4 - 4 u = 4 u - 4 u

Simplifier

u^{3} + u^{2} - 4 - 4 u = 0

u^{3} + u^{2} - 4 - 4 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + u^{2} - 4 u - 4 = 0

Factoriser

u^{3} + u^{2} - 4 u - 4 : (u + 1) (u + 2) (u - 2)

u^{3} + u^{2} - 4 u - 4

= (u^{3} + u^{2}) + (- 4 u - 4)

Factoriser

- 4

depuis

- 4 u - 4 : - 4 (u + 1)

- 4 u - 4

Factoriser le terme commun

- 4

= - 4 (u + 1)

Factoriser

u^{2}

depuis

u^{3} + u^{2} : u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Factoriser le terme commun

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= - 4 (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Factoriser le terme commun

u + 1

= (u + 1) (u^{2} - 4)

Factoriser

u^{2} - 4 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 4

Récrire

4

comme

2^{2}

= u^{2} - 2^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 2^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u + 1) (u + 2) (u - 2)

(u + 1) (u + 2) (u - 2) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 = 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplifier

u = - 2

u = - 2

Résoudre

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 = 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplifier

u = 2

u = 2

Les solutions sont

u = - 1, u = - 2, u = 2

Remplacer

u = csc (x)

csc (x) = - 1, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = - 1, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 1

Solutions générales pour

csc (x) = - 1

Tableau de périodicité

csc (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2

Solutions générales pour

csc (x) = - 2

Tableau de périodicité

csc (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Solutions générales pour

csc (x) = 2

Tableau de périodicité

csc (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

2sin^2(x)-5sin(x)-3=0

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 = 0

6+6sin(θ)=4cos^2(θ)

6 + 6 sin (θ) = 4 cos^{2} (θ)

5cos(x)+5sin(x)tan(x)=10

5 cos (x) + 5 sin (x) tan (x) = 10

sin(x)=0.33

sin (x) = 0.33

2cos(2x)=-1

2 cos (2 x) = - 1