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Beliebt Trigonometrie >

arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan(2)

Lösung

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

Lösung

x = 1

Schritte zur Lösung

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (x + 1) + arctan (x - 1)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )})

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (2)

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (2)

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = tan (arctan (2))

tan (arctan (2)) = 2

tan (arctan (2))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (arctan (2)) = 2

Verwende die folgende Identität:

tan (arctan (x)) = x

= 2

= 2

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2

Löse

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2 : x = - 2, x = 1

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2

Vereinfache

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} : \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

x + 1 + x - 1 = 2 x

x + 1 + x - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= x + x + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

Multipliziere aus

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Multipliziere aus

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Multipliziere aus

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Setze Klammern

= - (x^{2}) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Vereinfache

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - x^{2} + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

= \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

- x^{2} + 2

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

- x^{2} + 2

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} (- x^{2} + 2) = 2 (- x^{2} + 2)

Vereinfache

2 x = 2 (- x^{2} + 2)

2 x = 2 (- x^{2} + 2)

Löse

2 x = 2 (- x^{2} + 2) : x = - 2, x = 1

2 x = 2 (- x^{2} + 2)

Schreibe

2 (- x^{2} + 2)

um:

- 2 x^{2} + 4

2 (- x^{2} + 2)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - x^{2}, c = 2

= 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 2

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 x^{2} + 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 x^{2} + 4

2 x = - 2 x^{2} + 4

Tausche die Seiten

- 2 x^{2} + 4 = 2 x

Verschiebe

2 x

auf die linke Seite

- 2 x^{2} + 4 = 2 x

Subtrahiere

2 x

von beiden Seiten

- 2 x^{2} + 4 - 2 x = 2 x - 2 x

Vereinfache

- 2 x^{2} + 4 - 2 x = 0

- 2 x^{2} + 4 - 2 x = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 2, c = 4

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}, x_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

x = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

x = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - 2, x = 1

x = - 2, x = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = - 2, x = 2

Nimm den/die Nenner von

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - (x + 1) (x - 1) = 0 : x = - 2, x = 2

1 - (x + 1) (x - 1) = 0

Schreibe

1 - (x + 1) (x - 1)

um:

- x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Multipliziere aus

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Multipliziere aus

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Setze Klammern

= - (x^{2}) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Vereinfache

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - x^{2} + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

- x^{2} + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- x^{2} + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 0, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 22

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 0 + 8

Addiere die Zahlen:

0 + 8 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 + 22 = 22

= \frac{2 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 2

x = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2

\frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 - 22 = - 22

= \frac{- 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 2}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - 2, x = 2

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

x = - 2, x = 2

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

x = - 2, x = 1

x = - 2, x = 1

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

- 2 :

Falsch

- 2

Setze ein

n = 1

- 2

Setze

x = - 2

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

ein, um zu lösen

arctan (- 2 + 1) + arctan (- 2 - 1) = arctan (2)

Fasse zusammen

- 2.03444 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

1 :

Wahr

1

Setze ein

n = 1

1

Setze

x = 1

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

ein, um zu lösen

arctan (1 + 1) + arctan (1 - 1) = arctan (2)

Fasse zusammen

1.10714 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Wahr

x = 1

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)-sqrt(2)sin(x)=0

2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

sin(2x)=-sqrt(2)cos(x)

sin (2 x) = - 2 cos (x)

cos^3(x)+cos^2(x)-cos(x)=1

cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - cos (x) = 1

6sin(2x)sin(x)=6cos(x)

6 sin (2 x) sin (x) = 6 cos (x)

-3cos^2(θ)+11=-5sin(θ)+6

- 3 cos^{2} (θ) + 11 = - 5 sin (θ) + 6