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Popular Trigonometría >

arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan(2)

Solución

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

Solución

x = 1

Pasos de solución

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arctan (x + 1) + arctan (x - 1)

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )})

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (2)

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (2)

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = tan (arctan (2))

tan (arctan (2)) = 2

tan (arctan (2))

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

tan (arctan (2)) = 2

Usar la siguiente identidad:

tan (arctan (x)) = x

= 2

= 2

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2

Resolver

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2 : x = - 2, x = 1

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = 2

Simplificar

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} : \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

x + 1 + x - 1 = 2 x

x + 1 + x - 1

Agrupar términos semejantes

= x + x + 1 - 1

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

Expandir

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Expandir

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Expandir

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Poner los parentesis

= - (x^{2}) - (- 1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Simplificar

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Agrupar términos semejantes

= - x^{2} + 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

= \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = 2

Multiplicar ambos lados por

- x^{2} + 2

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = 2

Multiplicar ambos lados por

- x^{2} + 2

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} (- x^{2} + 2) = 2 (- x^{2} + 2)

Simplificar

2 x = 2 (- x^{2} + 2)

2 x = 2 (- x^{2} + 2)

Resolver

2 x = 2 (- x^{2} + 2) : x = - 2, x = 1

2 x = 2 (- x^{2} + 2)

Desarrollar

2 (- x^{2} + 2) : - 2 x^{2} + 4

2 (- x^{2} + 2)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - x^{2}, c = 2

= 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 2

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 x^{2} + 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 x^{2} + 4

2 x = - 2 x^{2} + 4

Intercambiar lados

- 2 x^{2} + 4 = 2 x

Desplace

2 x

a la izquierda

- 2 x^{2} + 4 = 2 x

Restar

2 x

de ambos lados

- 2 x^{2} + 4 - 2 x = 2 x - 2 x

Simplificar

- 2 x^{2} + 4 - 2 x = 0

- 2 x^{2} + 4 - 2 x = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = - 2, c = 4

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 4}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 4

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}, x_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

x = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 2}

Sumar:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

x = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 2}

Restar:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = - 2, x = 1

x = - 2, x = 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = - 2, x = 2

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

y comparar con cero

Resolver

1 - (x + 1) (x - 1) = 0 : x = - 2, x = 2

1 - (x + 1) (x - 1) = 0

Desarrollar

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Expandir

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Expandir

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Poner los parentesis

= - (x^{2}) - (- 1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Simplificar

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Agrupar términos semejantes

= - x^{2} + 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

- x^{2} + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- x^{2} + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = 0, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 22

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 1) \cdot 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 0 + 8

Sumar:

0 + 8 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 + 22 = 22

= \frac{2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 2}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 2

x = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2

\frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 - 22 = - 22

= \frac{- 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 2}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 2}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = - 2, x = 2

Los siguientes puntos no están definidos

x = - 2, x = 2

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = - 2, x = 1

x = - 2, x = 1

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

- 2 :

Falso

- 2

Sustituir

n = 1

- 2

Multiplicar

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

por

x = - 2

arctan (- 2 + 1) + arctan (- 2 - 1) = arctan (2)

Simplificar

- 2.03444 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

1 :

Verdadero

1

Sustituir

n = 1

1

Multiplicar

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

por

x = 1

arctan (1 + 1) + arctan (1 - 1) = arctan (2)

Simplificar

1.10714 \dots = 1.10714 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = 1

Gráfica

Ejemplos populares

2sin^2(x)-sqrt(2)sin(x)=0

sin(2x)=-sqrt(2)cos(x)

cos^3(x)+cos^2(x)-cos(x)=1

6sin(2x)sin(x)=6cos(x)

-3cos^2(θ)+11=-5sin(θ)+6