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Beliebt Trigonometrie >

4cos(2θ)+12=-2cos(θ)+9

Lösung

4 cos (2 θ) + 12 = - 2 cos (θ) + 9

Lösung

θ = 1.31811 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 75.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 284.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (2 θ) + 12 = - 2 cos (θ) + 9

Subtrahiere

- 2 cos (θ) + 9

von beiden Seiten

4 cos (2 θ) + 2 cos (θ) + 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 + 2 cos (θ) + 4 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 2 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

3 + 2 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

3 + 2 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Vereinfache

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 3 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4

Vereinfache

3 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4 : 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

3 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) + 3 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

3 - 4 = - 1

= 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

= 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

= 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

- 1 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 1 + 2 u + 8 u^{2} = 0

- 1 + 2 u + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + 2 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 1 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 1 )}{2 \cdot 8}

2^{2} - 4 \cdot 8 (- 1) = 6

2^{2} - 4 \cdot 8 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 1 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 8} : \frac{1}{4}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{4}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{4}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{4}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{4} : θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.31811 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(2θ)=1

sin^{2} (2 θ) = 1

sin(x)= 6/7

sin (x) = \frac{6}{7}

sin(θ/2)= 1/2

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1}{2}

4cos(θ)-2sqrt(2)=0

4 cos (θ) - 22 = 0

4cos(4x)=0

4 cos (4 x) = 0