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Beliebt Trigonometrie >

sin(x+pi/6)+cos(x+pi/6)=1

Lösung

sin (x + \frac{π}{6}) + cos (x + \frac{π}{6}) = 1

Lösung

x = 2 πn - \frac{π}{6}, x = 2 πn + \frac{π}{3}

Grad

x = - 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (x + \frac{π}{6}) + cos (x + \frac{π}{6}) = 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{π}{6} + x) + cos (\frac{π}{6} + x)

sin (\frac{π}{6} + x) + cos (\frac{π}{6} + x) = 2 sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4})

sin (\frac{π}{6} + x) + cos (\frac{π}{6} + x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (\frac{π}{6} + x) + \frac{1}{2} cos (\frac{π}{6} + x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{6} + x) + sin (\frac{π}{4}) cos (\frac{π}{6} + x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4})

= 2 sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4})

2 sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( \frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( \frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( \frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( \frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Löse

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = 2 πn - \frac{π}{6}

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{6} + x = 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

\frac{π}{6} + x = 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{6}

von beiden Seiten

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} = 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

x = 2 πn - \frac{π}{6}

x = 2 πn - \frac{π}{6}

Löse

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{π}{3}

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{6}

von beiden Seiten

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} - \frac{π}{6} : x + \frac{π}{4}

\frac{π}{6} + x + \frac{π}{4} - \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} = 0

= x + \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{7 π}{12}

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{6} + \frac{3 π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 4 : 12

6, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Für

\frac{3 π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{3 π}{4} = \frac{3 π 3}{4 \cdot 3} = \frac{9 π}{12}

= - \frac{π 2}{12} + \frac{9 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + 9 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π + 9 π = 7 π

= 2 πn + \frac{7 π}{12}

x + \frac{π}{4} = 2 πn + \frac{7 π}{12}

x + \frac{π}{4} = 2 πn + \frac{7 π}{12}

x + \frac{π}{4} = 2 πn + \frac{7 π}{12}

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = 2 πn + \frac{7 π}{12}

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 2 πn + \frac{7 π}{12} - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 2 πn + \frac{7 π}{12} - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

2 πn + \frac{7 π}{12} - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{3}

2 πn + \frac{7 π}{12} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

12, 4 : 12

12, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

12

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{7 π}{12} - \frac{π 3}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{7 π - π 3}{12}

Addiere gleiche Elemente:

7 π - 3 π = 4 π

= \frac{4 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= 2 πn + \frac{π}{3}

x = 2 πn + \frac{π}{3}

x = 2 πn + \frac{π}{3}

x = 2 πn + \frac{π}{3}

x = 2 πn - \frac{π}{6}, x = 2 πn + \frac{π}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=-1,0<= x<= 2pi

sin (x) = - 1, 0 \leq x \leq 2 π

-sqrt(3)sin(x)+cos(x)=0

- 3 sin (x) + cos (x) = 0

2sin^2(x)+5cos(x)-4=0

2 sin^{2} (x) + 5 cos (x) - 4 = 0

cos(2x)=3sin(x)-1

cos (2 x) = 3 sin (x) - 1

2sin(2x)=-1

2 sin (2 x) = - 1