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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)=sin(x/2)

Lösung

cos (x) = sin (\frac{x}{2})

Lösung

x = 3 π + 4 πn, x = \frac{π}{3} + 4 πn, x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

Grad

x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) = sin (\frac{x}{2})

Subtrahiere

sin (\frac{x}{2})

von beiden Seiten

cos (x) - sin (\frac{x}{2}) = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

cos (2 u) - sin (u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 u) - sin (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (u) - sin (u)

1 - sin (u) - 2 sin^{2} (u) = 0

Löse mit Substitution

1 - sin (u) - 2 sin^{2} (u) = 0

Angenommen:

sin (u) = u

1 - u - 2 u^{2} = 0

1 - u - 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

1 - u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = - 1, sin (u) = \frac{1}{2}

sin (u) = - 1, sin (u) = \frac{1}{2}

sin (u) = - 1 : u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (u) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (u) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (u) = \frac{1}{2} : u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (u) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (u) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn

x = \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{5 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{6}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

x = 3 π + 4 πn, x = \frac{π}{3} + 4 πn, x = \frac{5 π}{3} + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=0.5

tan (θ) = 0.5

-sqrt(3)tan(θ)-6=-3

- 3 tan (θ) - 6 = - 3

tan(θ)=2.5

tan (θ) = 2.5

arccos(1-x)+arccos(x)=arccos(-x)

arccos (1 - x) + arccos (x) = arccos (- x)

tan(x)=0.75

tan (x) = 0.75