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Populaire Trigonométrie >

5sin^2(θ)+10sin(θ)+2=6sin(θ)+3

Solution

5 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 2 = 6 sin (θ) + 3

Solution

θ = 0.20135 \dots + 2 πn, θ = π - 0.20135 \dots + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Degrés

θ = 11.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 168.46304 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

5 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 2 = 6 sin (θ) + 3

Résoudre par substitution

5 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 2 = 6 sin (θ) + 3

Soit :

sin (θ) = u

5 u^{2} + 10 u + 2 = 6 u + 3

5 u^{2} + 10 u + 2 = 6 u + 3 : u = \frac{1}{5}, u = - 1

5 u^{2} + 10 u + 2 = 6 u + 3

Déplacer

3

vers la gauche

5 u^{2} + 10 u + 2 = 6 u + 3

Soustraire

3

des deux côtés

5 u^{2} + 10 u + 2 - 3 = 6 u + 3 - 3

Simplifier

5 u^{2} + 10 u - 1 = 6 u

5 u^{2} + 10 u - 1 = 6 u

Déplacer

6 u

vers la gauche

5 u^{2} + 10 u - 1 = 6 u

Soustraire

6 u

des deux côtés

5 u^{2} + 10 u - 1 - 6 u = 6 u - 6 u

Simplifier

5 u^{2} + 4 u - 1 = 0

5 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

5 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 5, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 1 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 1 )}{2 \cdot 5}

4^{2} - 4 \cdot 5 (- 1) = 6

4^{2} - 4 \cdot 5 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 5 \cdot 1 = 20

= 4^{2} + 20

4^{2} = 16

= 16 + 20

Additionner les nombres :

16 + 20 = 36

= 36

Factoriser le nombre :

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6}{2 \cdot 5}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 4 + 6}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 4 - 6}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 4 + 6}{2 \cdot 5} : \frac{1}{5}

\frac{- 4 + 6}{2 \cdot 5}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 6 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{2}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{1}{5}

u = \frac{- 4 - 6}{2 \cdot 5} : - 1

\frac{- 4 - 6}{2 \cdot 5}

Soustraire les nombres :

- 4 - 6 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{5}, u = - 1

Remplacer

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{5}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{5}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{5} : θ = arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (θ) = \frac{1}{5}

Solutions générales pour

sin (θ) = \frac{1}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Solutions générales pour

sin (θ) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{5}) + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 0.20135 \dots + 2 πn, θ = π - 0.20135 \dots + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graphe

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