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Populaire Trigonométrie >

sin^3(x)=3sin(x)-4sin^3(x)

Solution

sin^{3} (x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = - 0.88607 \dots + 2 πn, x = π + 0.88607 \dots + 2 πn, x = 0.88607 \dots + 2 πn, x = π - 0.88607 \dots + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 50.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 230.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 50.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 129.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin^{3} (x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

Résoudre par substitution

sin^{3} (x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

Soit :

sin (x) = u

u^{3} = 3 u - 4 u^{3}

u^{3} = 3 u - 4 u^{3} : u = 0, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{5}

u^{3} = 3 u - 4 u^{3}

Transposer les termes des côtés

3 u - 4 u^{3} = u^{3}

Déplacer

u^{3}

vers la gauche

3 u - 4 u^{3} = u^{3}

Soustraire

u^{3}

des deux côtés

3 u - 4 u^{3} - u^{3} = u^{3} - u^{3}

Simplifier

3 u - 5 u^{3} = 0

3 u - 5 u^{3} = 0

Factoriser

3 u - 5 u^{3} : - u (5 u + 3) (5 u - 3)

3 u - 5 u^{3}

Factoriser le terme commun

- u : - u (5 u^{2} - 3)

- 5 u^{3} + 3 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= - 5 u^{2} u + 3 u

Factoriser le terme commun

- u

= - u (5 u^{2} - 3)

= - u (5 u^{2} - 3)

Factoriser

5 u^{2} - 3 : (5 u + 3) (5 u - 3)

5 u^{2} - 3

Récrire

5 u^{2} - 3

comme

(5 u)^{2} - (3)^{2}

5 u^{2} - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

5 = (5)^{2}

= (5)^{2} u^{2} - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (5)^{2} u^{2} - (3)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(5)^{2} u^{2} = (5 u)^{2}

= (5 u)^{2} - (3)^{2}

= (5 u)^{2} - (3)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(5 u)^{2} - (3)^{2} = (5 u + 3) (5 u - 3)

= (5 u + 3) (5 u - 3)

= - u (5 u + 3) (5 u - 3)

- u (5 u + 3) (5 u - 3) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u = 0 or 5 u + 3 = 0 or 5 u - 3 = 0

Résoudre

5 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{5}

5 u + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

5 u + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

5 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

5 u = - 3

5 u = - 3

Diviser les deux côtés par

5

5 u = - 3

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 u}{5} = \frac{- 3}{5}

Simplifier

\frac{5 u}{5} = \frac{- 3}{5}

Simplifier

\frac{5 u}{5} : u

\frac{5 u}{5}

Annuler le facteur commun :

5

= u

Simplifier

\frac{- 3}{5} : - \frac{3}{5}

\frac{- 3}{5}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{5}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

Résoudre

5 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{5}

5 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

5 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

5 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

5 u = 3

5 u = 3

Diviser les deux côtés par

5

5 u = 3

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 u}{5} = \frac{3}{5}

Simplifier

\frac{5 u}{5} = \frac{3}{5}

Simplifier

\frac{5 u}{5} : u

\frac{5 u}{5}

Annuler le facteur commun :

5

= u

Simplifier

\frac{3}{5} : \frac{3}{5}

\frac{3}{5}

Combiner les mêmes puissances :

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{5}

u = \frac{3}{5}

u = \frac{3}{5}

u = \frac{3}{5}

Les solutions sont

u = 0, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{5}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{3}{5}, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{3}{5}, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{5} : x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - \frac{3}{5}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{3}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{3}{5}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = - 0.88607 \dots + 2 πn, x = π + 0.88607 \dots + 2 πn, x = 0.88607 \dots + 2 πn, x = π - 0.88607 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

tan(θ)= 2/(3+2cos(45))