English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

5sin(x)+12cos(x)=13

Solution

5 sin (x) + 12 cos (x) = 13

Solution

x = 0.39479 \dots + 2 πn

Degrés

x = 22.61986 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

5 sin (x) + 12 cos (x) = 13

Soustraire

12 cos (x)

des deux côtés

5 sin (x) = 13 - 12 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(5 sin (x))^{2} = (13 - 12 cos (x))^{2}

Soustraire

(13 - 12 cos (x))^{2}

des deux côtés

25 sin^{2} (x) - 169 + 312 cos (x) - 144 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) + 312 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) + 312 cos (x)

Simplifier

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) + 312 cos (x) : 312 cos (x) - 169 cos^{2} (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) + 312 cos (x)

Développer

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) + 312 cos (x)

Simplifier

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) + 312 cos (x) : 312 cos (x) - 169 cos^{2} (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) + 312 cos (x)

Grouper comme termes

= - 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 312 cos (x) - 169 + 25

Additionner les éléments similaires :

- 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 169 cos^{2} (x)

= - 169 cos^{2} (x) + 312 cos (x) - 169 + 25

Additionner/Soustraire les nombres :

- 169 + 25 = - 144

= 312 cos (x) - 169 cos^{2} (x) - 144

= 312 cos (x) - 169 cos^{2} (x) - 144

= 312 cos (x) - 169 cos^{2} (x) - 144

- 144 - 169 cos^{2} (x) + 312 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

- 144 - 169 cos^{2} (x) + 312 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 144 - 169 u^{2} + 312 u = 0

- 144 - 169 u^{2} + 312 u = 0 : u = \frac{12}{13}

- 144 - 169 u^{2} + 312 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 169 u^{2} + 312 u - 144 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 169 u^{2} + 312 u - 144 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 169, b = 312, c = - 144

u_{1, 2} = \frac{- 312 \pm 31 2 ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

u_{1, 2} = \frac{- 312 \pm 31 2 ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

31 2^{2} - 4 (- 169) (- 144) = 0

31 2^{2} - 4 (- 169) (- 144)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 31 2^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Multiplier les nombres :

4 \cdot 169 \cdot 144 = 97344

= 31 2^{2} - 97344

31 2^{2} = 97344

= 97344 - 97344

Soustraire les nombres :

97344 - 97344 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 312 \pm 0}{2 ( - 169 )}

u = \frac{- 312}{2 ( - 169 )}

\frac{- 312}{2 ( - 169 )} = \frac{12}{13}

\frac{- 312}{2 ( - 169 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 312}{- 2 \cdot 169}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 169 = 338

= \frac{- 312}{- 338}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{312}{338}

Annuler le facteur commun :

26

= \frac{12}{13}

u = \frac{12}{13}

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = \frac{12}{13}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{12}{13}

cos (x) = \frac{12}{13}

cos (x) = \frac{12}{13} : x = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

cos (x) = \frac{12}{13}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{12}{13}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{12}{13}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

x = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

5 sin (x) + 12 cos (x) = 13

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Pour

5 sin (x) + 12 cos (x) = 13

insérer

x = arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) + 12 cos (arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Redéfinir

13 = 13

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Pour

5 sin (x) + 12 cos (x) = 13

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) + 12 cos (2 π - arccos (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Redéfinir

9.15384 \dots = 13

\Rightarrow Faux

x = arccos (\frac{12}{13}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.39479 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

2sin^2(x)+3cos^2(x)=3

3cos(x)+3=0

-2cos^2(x)+3cos(x)-1=0

2cos(2x)-sqrt(3)cos(x)=0

sin(2x)= 3/5