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Populaire Trigonométrie >

csc^5(x)-4csc(x)=0

Solution

csc^{5} (x) - 4 csc (x) = 0

Solution

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Degrés

x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

csc^{5} (x) - 4 csc (x) = 0

Résoudre par substitution

csc^{5} (x) - 4 csc (x) = 0

Soit :

csc (x) = u

u^{5} - 4 u = 0

u^{5} - 4 u = 0 : u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

u^{5} - 4 u = 0

Factoriser

u^{5} - 4 u : u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{5} - 4 u

Factoriser le terme commun

u : u (u^{4} - 4)

u^{5} - 4 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{5} = u^{4} u

= u^{4} u - 4 u

Factoriser le terme commun

u

= u (u^{4} - 4)

= u (u^{4} - 4)

Factoriser

u^{4} - 4 : (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{4} - 4

Récrire

u^{4} - 4

comme

(u^{2})^{2} - 2^{2}

u^{4} - 4

Récrire

4

comme

2^{2}

= u^{4} - 2^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

u^{4} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(u^{2})^{2} - 2^{2} = (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

= (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

Factoriser

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

= u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u = 0 or u^{2} + 2 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Résoudre

u^{2} + 2 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u^{2} + 2 = 0

Soustraire

2

des deux côtés

u^{2} + 2 - 2 = 0 - 2

Simplifier

u^{2} = - 2

u^{2} = - 2

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = - 2, u = - - 2

Simplifier

- 2 : 2 i

- 2

Appliquer la règle des radicaux:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- 1 = i

= 2 i

Simplifier

- - 2 : - 2 i

- - 2

Simplifier

- 2 : 2 i

- 2

Appliquer la règle des radicaux:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- 1 = i

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Résoudre

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 = 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplifier

u = - 2

u = - 2

Résoudre

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 = 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplifier

u = 2

u = 2

Les solutions sont

u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

Remplacer

u = csc (x)

csc (x) = 0, csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = 0, csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i, csc (x) = - 2, csc (x) = 2

csc (x) = 0 :

Aucune solution

csc (x) = 0

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Aucune solution

csc (x) = 2 i :

Aucune solution

csc (x) = 2 i

Aucune solution

csc (x) = - 2 i :

Aucune solution

csc (x) = - 2 i

Aucune solution

csc (x) = - 2 : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = - 2

Solutions générales pour

csc (x) = - 2

Tableau de périodicité

csc (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2

Solutions générales pour

csc (x) = 2

Tableau de périodicité

csc (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

arctan(x)=-pi/2

sec^2(x)=1+tan(x)

csc^2(θ)-2cot(θ)=0

cos(θ)=0.3,0<= θ<= 2pi

cos(3x)=-(sqrt(2))/2