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Populaire Trigonométrie >

4sin(x)=cos(x)-2

Solution

4 sin (x) = cos (x) - 2

Solution

x = - 2.39016 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.26146 \dots + 2 πn

Degrés

x = - 136.94661 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 345.01910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 sin (x) = cos (x) - 2

Mettre les deux côtés au carré

(4 sin (x))^{2} = (cos (x) - 2)^{2}

Soustraire

(cos (x) - 2)^{2}

des deux côtés

16 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 4 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 4 - cos^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) + 4 cos (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Simplifier

- 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) : 4 cos (x) - 17 cos^{2} (x) + 12

- 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Développer

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Simplifier

- 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) + 4 cos (x) : 4 cos (x) - 17 cos^{2} (x) + 12

- 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Grouper comme termes

= - cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 4 + 16

Additionner les éléments similaires :

- cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) = - 17 cos^{2} (x)

= - 17 cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 4 + 16

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 16 = 12

= 4 cos (x) - 17 cos^{2} (x) + 12

= 4 cos (x) - 17 cos^{2} (x) + 12

= 4 cos (x) - 17 cos^{2} (x) + 12

12 - 17 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

12 - 17 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

12 - 17 u^{2} + 4 u = 0

12 - 17 u^{2} + 4 u = 0 : u = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

12 - 17 u^{2} + 4 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 17 u^{2} + 4 u + 12 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 17 u^{2} + 4 u + 12 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 17, b = 4, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 17 ) \cdot 12}{2 ( - 17 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 17 ) \cdot 12}{2 ( - 17 )}

4^{2} - 4 (- 17) \cdot 12 = 813

4^{2} - 4 (- 17) \cdot 12

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Multiplier les nombres :

4 \cdot 17 \cdot 12 = 816

= 4^{2} + 816

4^{2} = 16

= 16 + 816

Additionner les nombres :

16 + 816 = 832

= 832

Factorisation première de

832 : 2^{6} \cdot 13

832

832

divisée par

2832 = 416 \cdot 2

= 2 \cdot 416

416

divisée par

2416 = 208 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 208

208

divisée par

2208 = 104 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 104

104

divisée par

2104 = 52 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 52

52

divisée par

252 = 26 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

divisée par

226 = 13 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

Appliquer la règle des radicaux:

= 13 2^{6}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13

Redéfinir

= 813

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8 13}{2 ( - 17 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 4 + 8 13}{2 ( - 17 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 8 13}{2 ( - 17 )}

u = \frac{- 4 + 8 13}{2 ( - 17 )} : - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- 4 + 8 13}{2 ( - 17 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 8 13}{- 2 \cdot 17}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 + 8 13}{- 34}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 8 13}{34}

Annuler

\frac{- 4 + 8 13}{34} : \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- 4 + 8 13}{34}

Factoriser

- 4 + 813 : 4 (- 1 + 213)

- 4 + 813

Récrire comme

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Factoriser le terme commun

4

= 4 (- 1 + 213)

= \frac{4 ( - 1 + 2 13 )}{34}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

= - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

u = \frac{- 4 - 8 13}{2 ( - 17 )} : \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{- 4 - 8 13}{2 ( - 17 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 8 13}{- 2 \cdot 17}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 - 8 13}{- 34}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 813 = - (4 + 813)

= \frac{4 + 8 13}{34}

Factoriser

4 + 813 : 4 (1 + 213)

4 + 813

Récrire comme

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Factoriser le terme commun

4

= 4 (1 + 213)

= \frac{4 ( 1 + 2 13 )}{34}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (x) = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (x) = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17} : x = arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17} : x = arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

4 sin (x) = cos (x) - 2

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn :

Faux

arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) = cos (x) - 2

insérer

x = arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) - 2

Redéfinir

2.73071 \dots = - 2.73071 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn :

vrai

- arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) = cos (x) - 2

insérer

x = - arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) - 2

Redéfinir

- 2.73071 \dots = - 2.73071 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn :

Faux

arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) = cos (x) - 2

insérer

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) - 2

Redéfinir

1.03398 \dots = - 1.03398 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn :

vrai

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) = cos (x) - 2

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) - 2

Redéfinir

- 1.03398 \dots = - 1.03398 \dots

\Rightarrow vrai

x = - arccos (- \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = - 2.39016 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.26146 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin(θ)=1-cos(θ)

cos(θ)-2sin(θ)cos(θ)=0

solvefor x,cos(xy)=sin(x+y)

cot(x)= 3/4

3sin(x)-cos^2(x)+3=0