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人気のある三角関数 >

sqrt(3)sin(θ)-cos(θ)=1

解

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

解

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn

+1

度

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

両辺に

cos (θ)

を足す

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

両辺を2乗する

(3 sin (θ))^{2} = (1 + cos (θ))^{2}

両辺から

(1 + cos (θ))^{2}

を引く

3 sin^{2} (θ) - 1 - 2 cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 sin^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

簡素化

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ)) : - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

拡張

3 (1 - cos^{2} (θ)) : 3 - 3 cos^{2} (θ)

3 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (θ)

= - 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

簡素化

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ) : - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

条件のようなグループ

= - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 1 + 3

類似した元を足す:

- cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = - 4 cos^{2} (θ)

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 1 + 3

数を足す/引く:

- 1 + 3 = 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

2 - 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

置換で解く

2 - 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 2 u + 2 = 0

解くとthe二次式

- 4 u^{2} - 2 u + 2 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 4, b = - 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

規則を適用

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

数を乗じる:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

数を足す:

4 + 32 = 36

= 36

数を因数に分解する:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 4 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 4}

数を足す:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{- 8}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 4}

数を引く:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

共通因数を約分する:

4

= \frac{1}{2}

二次equationの解:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

以下の一般解

cos (θ) = - 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

π + 2 πn :

真

π + 2 πn

挿入

n = 1

π + 2 π 1

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

の挿入向け

θ = π + 2 π 1

3 sin (π + 2 π 1) - cos (π + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{π}{3} + 2 πn :

真

\frac{π}{3} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

の挿入向け

θ = \frac{π}{3} + 2 π 1

3 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1) - cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

偽

\frac{5 π}{3} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

の挿入向け

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 1

改良

- 2 = 1

\Rightarrow 偽

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn

グラフ

人気の例

csc (y) = 2

16sin^2(θ)-1=0

16 sin^{2} (θ) - 1 = 0

8sin^2(x)+16sin(x)+8=0

8 sin^{2} (x) + 16 sin (x) + 8 = 0

tan(θ)=(2sqrt(3))/3 sin(θ),0<= θ<2pi

tan (θ) = \frac{2 3}{3} sin (θ), 0 \leq θ < 2 π

3 tan (x) = cot (x)