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受欢迎的三角函数 >

sqrt(3)sin(θ)-cos(θ)=1

解答

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

解答

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn

+1

度数

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

两边加上

cos (θ)

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

两边进行平方

(3 sin (θ))^{2} = (1 + cos (θ))^{2}

两边减去

(1 + cos (θ))^{2}

3 sin^{2} (θ) - 1 - 2 cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

化简

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ)) : - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

3 (1 - cos^{2} (θ)) : 3 - 3 cos^{2} (θ)

3 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (θ)

数字相乘:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (θ)

= - 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

化简

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ) : - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 1 + 3

同类项相加:

- cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = - 4 cos^{2} (θ)

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 1 + 3

数字相加/相减:

- 1 + 3 = 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 2

2 - 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

用替代法求解

2 - 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

2 - 2 u - 4 u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 2 u + 2 = 0

使用求根公式求解

- 4 u^{2} - 2 u + 2 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 4, b = - 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 6

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

使用法则

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

数字相乘:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

数字相加:

4 + 32 = 36

= 36

因式分解数字:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 ( - 4 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 ( - 4 )}

去除括号:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 6}{- 2 \cdot 4}

数字相加:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{- 8}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 ( - 4 )}

去除括号:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 6}{- 2 \cdot 4}

数字相减:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

约分:

4

= \frac{1}{2}

二次方程组的解是:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

cos (θ) = - 1

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{2}

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

合并所有解

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

π + 2 πn

的解:

真

π + 2 πn

代入

n = 1

π + 2 π 1

对于

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

代入

θ = π + 2 π 1

3 sin (π + 2 π 1) - cos (π + 2 π 1) = 1

整理后得

1 = 1

\Rightarrow 真

检验

\frac{π}{3} + 2 πn

的解:

真

\frac{π}{3} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

对于

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

代入

θ = \frac{π}{3} + 2 π 1

3 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1) - cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 1

整理后得

1 = 1

\Rightarrow 真

检验

\frac{5 π}{3} + 2 πn

的解:

假

\frac{5 π}{3} + 2 πn

代入

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

对于

3 sin (θ) - cos (θ) = 1

代入

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 1

整理后得

- 2 = 1

\Rightarrow 假

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn

作图

流行的例子

csc (y) = 2

16sin^2(θ)-1=0

16 sin^{2} (θ) - 1 = 0

8sin^2(x)+16sin(x)+8=0

8 sin^{2} (x) + 16 sin (x) + 8 = 0

tan(θ)=(2sqrt(3))/3 sin(θ),0<= θ<2pi

tan (θ) = \frac{2 3}{3} sin (θ), 0 \leq θ < 2 π

3 tan (x) = cot (x)