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Popular Trigonometría >

2sin(x)=sqrt(cos(2x)+2)

Solución

2 sin (x) = cos (2 x) + 2

Solución

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin (x) = cos (2 x) + 2

Restar

cos (2 x) + 2

de ambos lados

2 sin (x) - cos (2 x) + 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 + cos (2 x) + 2 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 2 + 1 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x)

Simplificar

= - - 2 sin^{2} (x) + 3 + 2 sin (x)

- 3 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 3 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{1}{2}

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

Eliminar raíces cuadradas

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

Restar

2 u

de ambos lados

- 3 - 2 u^{2} + 2 u - 2 u = 0 - 2 u

Simplificar

- 3 - 2 u^{2} = - 2 u

Elevar al cuadrado ambos lados:

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

(- 3 - 2 u^{2})^{2} = (- 2 u)^{2}

Desarrollar

(- 3 - 2 u^{2})^{2} : 3 - 2 u^{2}

(- 3 - 2 u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3 - 2 u^{2})^{2} = (3 - 2 u^{2})^{2}

= (3 - 2 u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((3 - 2 u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (3 - 2 u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3 - 2 u^{2}

Desarrollar

(- 2 u)^{2} : 4 u^{2}

(- 2 u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2 u)^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} u^{2}

2^{2} = 4

= 4 u^{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

Resolver

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

Desplace

3

a la derecha

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 u^{2} - 3 = 4 u^{2} - 3

Simplificar

- 2 u^{2} = 4 u^{2} - 3

- 2 u^{2} = 4 u^{2} - 3

Desplace

4 u^{2}

a la izquierda

- 2 u^{2} = 4 u^{2} - 3

Restar

4 u^{2}

de ambos lados

- 2 u^{2} - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 3 - 4 u^{2}

Simplificar

- 6 u^{2} = - 3

- 6 u^{2} = - 3

Dividir ambos lados entre

- 6

- 6 u^{2} = - 3

Dividir ambos lados entre

- 6

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}

Simplificar

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}

Simplificar

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6} : u^{2}

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6 u ^{2}}{6}

Dividir:

\frac{6}{6} = 1

= u^{2}

Simplificar

\frac{- 3}{- 6} : \frac{1}{2}

\frac{- 3}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3}{6}

Eliminar los terminos comunes:

3

= \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones:

u = \frac{1}{2}

Verdadero

, u = - \frac{1}{2}

Falso

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = \frac{1}{2} :

Verdadero

- 3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 \frac{1}{2} = 0

- 3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 \frac{1}{2} = 0

- 3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 \frac{1}{2}

3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} = 2

3 - 2 (\frac{1}{2})^{2}

2 (\frac{1}{2})^{2} = 1

2 (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3 - 1

Restar:

3 - 1 = 2

= 2

2 \frac{1}{2} = 2

2 \frac{1}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a \frac{b}{a} = a^{2} \frac{b}{a}

2 \frac{1}{2} = 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

= 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar

2^{2} \cdot \frac{1}{2} : 2

2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 ^{2}}{2}

Multiplicar:

1 \cdot 2^{2} = 2^{2}

= \frac{2 ^{2}}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 2

= 2

= - 2 + 2

Sumar elementos similares:

- 2 + 2 = 0

= 0

0 = 0

Verdadero

Sustituir

u = - \frac{1}{2} :

Falso

- 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) = 0

- 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) = - 22

- 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} + 2 (- \frac{1}{2})

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} - 2 \frac{1}{2}

3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} = 2

3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2}

2 (- \frac{1}{2})^{2} = 1

2 (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3 - 1

Restar:

3 - 1 = 2

= 2

2 \frac{1}{2} = 2

2 \frac{1}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a \frac{b}{a} = a^{2} \frac{b}{a}

2 \frac{1}{2} = 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

= 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar

2^{2} \cdot \frac{1}{2} : 2

2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 ^{2}}{2}

Multiplicar:

1 \cdot 2^{2} = 2^{2}

= \frac{2 ^{2}}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 2

= 2

= - 2 - 2

Sumar elementos similares:

- 2 - 2 = - 22

= - 22

- 22 = 0

Falso

La solución es

u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(x)= 7/12

cos(x)=sqrt(1-sin(x))

-sin(a)-1=3sin(a)+2

tan(x)=7

cot(x)(tan(x)-sqrt(3))=0