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Popular Trigonometría >

tan(pi/8)

Solución

tan (\frac{π}{8})

Solución

3 - 22

Decimal

0.41421 \dots

Pasos de solución

tan (\frac{π}{8})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

\frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{1 + cos ( \frac{π}{4} )}

tan (\frac{π}{8})

Escribir

tan (\frac{π}{8})

como

tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})

= tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})

Utilizar la identidad trigonométrica del medio ángulo:

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Usar la siguiente identidad

tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Elevar al cuadrado ambos lados

tan^{2} (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Intercambiar lados

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Sumar

1

a ambos lados

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Dividir ambos lados entre

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Intercambiar lados

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Sumar

1

a ambos lados

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Dividir ambos lados entre

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

tan^{2} (θ) = \frac{\frac{1 - c o s ( 2 θ )}{2}}{\frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}}

Simplificar

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Sustituir

θ

con

\frac{θ}{2}

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}

Simplificar

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Raíz cuadrada de ambos lados

Elige el signo de la raíz según el cuadrante de

\frac{θ}{2} :

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{1 + cos ( \frac{π}{4} )}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{1 + cos ( \frac{π}{4} )}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

Simplificar

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} : 3 - 22

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} = \frac{2 - 1}{2 + 1}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

Simplificar

1 + \frac{2}{2}

en una fracción:

\frac{2 + 2}{2}

1 + \frac{2}{2}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 2}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{\frac{2 + 2}{2}}

Simplificar

1 - \frac{2}{2}

en una fracción:

\frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{\frac{2 + 2}{2}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 - 2 ) \cdot 2}{2 ( 2 + 2 )}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 - 2}{2 + 2}

Factorizar

2 - 2 : 2 (2 - 1)

2 - 2

2 = 22

= 22 - 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 + 2}

Factorizar

2 + 2 : 2 (2 + 1)

2 + 2

2 = 22

= 22 + 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 + 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 ( 2 + 1 )}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 - 1}{2 + 1}

= \frac{2 - 1}{2 + 1}

\frac{2 - 1}{2 + 1} = 3 - 22

\frac{2 - 1}{2 + 1}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 - 1}{2 - 1}

= \frac{( 2 - 1 ) ( 2 - 1 )}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )}

(2 - 1) (2 - 1) = 3 - 22

(2 - 1) (2 - 1)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(2 - 1) (2 - 1) = (2 - 1)^{1 + 1}

= (2 - 1)^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= (2 - 1)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} : 3 - 22

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= 2 - 22 + 1

Sumar:

2 + 1 = 3

= 3 - 22

= 3 - 22

(2 + 1) (2 - 1) = 1

(2 + 1) (2 - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 1^{2}

Simplificar

(2)^{2} - 1^{2} : 1

(2)^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2

= 2 - 1

Restar:

2 - 1 = 1

= 1

= 1

= \frac{3 - 2 2}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= 3 - 22

= 3 - 22

= 3 - 22

Ejemplos populares