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Populaire Trigonométrie >

cosh(x)=4

Solution

cosh (x) = 4

Solution

x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

Degrés

x = 118.22623 \dots^{\circ}, x = - 118.22623 \dots^{\circ}

étapes des solutions

cosh (x) = 4

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cosh (x) = 4

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4 : x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2

Simplifier

e^{x} + e^{- x} = 8

Appliquer les règles des exposants

e^{x} + e^{- x} = 8

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = 8

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = 8

Récrire l'équation avec

e^{x} = u

u + (u)^{- 1} = 8

Résoudre

u + u^{- 1} = 8 : u = 4 + 15, u = 4 - 15

u + u^{- 1} = 8

Redéfinir

u + \frac{1}{u} = 8

Multiplier les deux côtés par

u

u + \frac{1}{u} = 8

Multiplier les deux côtés par

u

uu + \frac{1}{u} u = 8 u

Simplifier

uu + \frac{1}{u} u = 8 u

Simplifier

uu : u^{2}

uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplifier

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 1

u^{2} + 1 = 8 u

u^{2} + 1 = 8 u

u^{2} + 1 = 8 u

Résoudre

u^{2} + 1 = 8 u : u = 4 + 15, u = 4 - 15

u^{2} + 1 = 8 u

Déplacer

8 u

vers la gauche

u^{2} + 1 = 8 u

Soustraire

8 u

des deux côtés

u^{2} + 1 - 8 u = 8 u - 8 u

Simplifier

u^{2} + 1 - 8 u = 0

u^{2} + 1 - 8 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 8 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} - 8 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 8, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 215

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 8^{2} - 4

8^{2} = 64

= 64 - 4

Soustraire les nombres :

64 - 4 = 60

= 60

Factorisation première de

60 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

60

60

divisée par

260 = 30 \cdot 2

= 2 \cdot 30

30

divisée par

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 15

15

divisée par

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

Appliquer la règle des radicaux:

= 2^{2} 3 \cdot 5

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 5

Redéfinir

= 215

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2 15}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2 15}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2 15}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 8 ) + 2 15}{2 \cdot 1} : 4 + 15

\frac{- ( - 8 ) + 2 15}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{8 + 2 15}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 + 2 15}{2}

Factoriser

8 + 215 : 2 (4 + 15)

8 + 215

Récrire comme

= 2 \cdot 4 + 215

Factoriser le terme commun

2

= 2 (4 + 15)

= \frac{2 ( 4 + 15 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 4 + 15

u = \frac{- ( - 8 ) - 2 15}{2 \cdot 1} : 4 - 15

\frac{- ( - 8 ) - 2 15}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{8 - 2 15}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 - 2 15}{2}

Factoriser

8 - 215 : 2 (4 - 15)

8 - 215

Récrire comme

= 2 \cdot 4 - 215

Factoriser le terme commun

2

= 2 (4 - 15)

= \frac{2 ( 4 - 15 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 4 - 15

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 4 + 15, u = 4 - 15

u = 4 + 15, u = 4 - 15

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

u + u^{- 1}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 4 + 15, u = 4 - 15

u = 4 + 15, u = 4 - 15

Resubstituer

u = e^{x},

résoudre pour

x

Résoudre

e^{x} = 4 + 15 : x = ln (4 + 15)

e^{x} = 4 + 15

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 4 + 15

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (4 + 15)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (4 + 15)

x = ln (4 + 15)

Résoudre

e^{x} = 4 - 15 : x = ln (4 - 15)

e^{x} = 4 - 15

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 4 - 15

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (4 - 15)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (4 - 15)

x = ln (4 - 15)

x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

Graphe

Exemples populaires

2cos^2(θ)+3cos(θ)-2=0

12(1-cos(θ))=sin^2(θ)

sin(1/6 x)=0

2sin(x-pi/6)=cos(x-pi/3)

-3sin^2(θ)+5sin(θ)-1=1