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Beliebt Trigonometrie >

6cos(x)-6sin(x)=3sqrt(6)

Lösung

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

Lösung

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

x = - 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

Füge

6 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

6 cos (x) = 36 + 6 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(6 cos (x))^{2} = (36 + 6 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(36 + 6 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

36 cos^{2} (x) - 54 - 366 sin (x) - 36 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 54 + 36 cos^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Vereinfache

- 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 : - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

- 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

= - 54 + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 36 sin^{2} (x) - 366 sin (x)

Multipliziere aus

36 (1 - sin^{2} (x)) : 36 - 36 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 sin^{2} (x)

= - 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Vereinfache

- 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 : - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

- 54 + 36 - 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6

Addiere gleiche Elemente:

- 36 sin^{2} (x) - 36 sin^{2} (x) = - 72 sin^{2} (x)

= - 54 + 36 - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 54 + 36 = - 18

= - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

= - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

= - 72 sin^{2} (x) - 366 sin (x) - 18

- 18 - 72 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 = 0

Löse mit Substitution

- 18 - 72 sin^{2} (x) - 36 sin (x) 6 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 18 - 72 u^{2} - 36 u 6 = 0

- 18 - 72 u^{2} - 36 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 18 - 72 u^{2} - 36 u 6 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 72 u^{2} - 366 u - 18 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 72 u^{2} - 366 u - 18 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 72, b = - 366, c = - 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 6 ) \pm ( - 36 6 ) ^{2} - 4 ( - 72 ) ( - 18 )}{2 ( - 72 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 6 ) \pm ( - 36 6 ) ^{2} - 4 ( - 72 ) ( - 18 )}{2 ( - 72 )}

(- 366)^{2} - 4 (- 72) (- 18) = 362

(- 366)^{2} - 4 (- 72) (- 18)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 366)^{2} - 4 \cdot 72 \cdot 18

(- 366)^{2} = 3 6^{2} \cdot 6

(- 366)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 366)^{2} = (366)^{2}

= (366)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 6

= 3 6^{2} \cdot 6

4 \cdot 72 \cdot 18 = 5184

4 \cdot 72 \cdot 18

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 72 \cdot 18 = 5184

= 5184

= 3 6^{2} \cdot 6 - 5184

3 6^{2} \cdot 6 = 7776

3 6^{2} \cdot 6

3 6^{2} = 1296

= 1296 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

1296 \cdot 6 = 7776

= 7776

= 7776 - 5184

Subtrahiere die Zahlen:

7776 - 5184 = 2592

= 2592

Primfaktorzerlegung von

2592 : 2^{5} \cdot 3^{4}

2592

2592

ist durch

22592 = 1296 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 1296

1296

ist durch

21296 = 648 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 648

648

ist durch

2648 = 324 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 324

324

ist durch

2324 = 162 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 162

162

ist durch

2162 = 81 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81

81

ist durch

381 = 27 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3^{4}

= 2^{5} \cdot 3^{4}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4} 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 2^{2} \cdot 3^{2} 2

Fasse zusammen

= 362

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 6 ) \pm 36 2}{2 ( - 72 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 36 6 ) + 36 2}{2 ( - 72 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 6 ) - 36 2}{2 ( - 72 )}

u = \frac{- ( - 36 6 ) + 36 2}{2 ( - 72 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 36 6 ) + 36 2}{2 ( - 72 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 6 + 36 2}{- 2 \cdot 72}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 72 = 144

= \frac{36 6 + 36 2}{- 144}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 6 + 36 2}{144}

Streiche

\frac{36 6 + 36 2}{144} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{36 6 + 36 2}{144}

Klammere gleiche Terme aus

36

= \frac{36 ( 6 + 2 )}{144}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

36

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 36 6 ) - 36 2}{2 ( - 72 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 36 6 ) - 36 2}{2 ( - 72 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 6 - 36 2}{- 2 \cdot 72}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 72 = 144

= \frac{36 6 - 36 2}{- 144}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 6 - 36 2}{144}

Streiche

\frac{36 6 - 36 2}{144} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{36 6 - 36 2}{144}

Klammere gleiche Terme aus

36

= \frac{36 ( 6 - 2 )}{144}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

36

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

ein, um zu lösen

6 cos (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Fasse zusammen

7.34846 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

ein, um zu lösen

6 cos (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Fasse zusammen

4.24264 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

ein, um zu lösen

6 cos (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Fasse zusammen

7.34846 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

6 cos (x) - 6 sin (x) = 36

ein, um zu lösen

6 cos (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 6 sin (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 36

Fasse zusammen

- 4.24264 \dots = 7.34846 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(θ)+cos^4(θ)=1

cos^{2} (θ) + cos^{4} (θ) = 1

cot(a)=-1/(sqrt(3))

cot (a) = - \frac{1}{3}

2cos(θ)-2sec(θ)-3=0

2 cos (θ) - 2 sec (θ) - 3 = 0

2sin^2(x)-3cos(x)=0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

sin(θ)= 2/9

sin (θ) = \frac{2}{9}