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Popular Trigonometría >

9sin(x)=cos(x)-7

Solución

9 sin (x) = cos (x) - 7

Solución

x = - 2.14734 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.77293 \dots + 2 πn

Grados

x = - 123.03388 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 315.71426 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

9 sin (x) = cos (x) - 7

Elevar al cuadrado ambos lados

(9 sin (x))^{2} = (cos (x) - 7)^{2}

Restar

(cos (x) - 7)^{2}

de ambos lados

81 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 14 cos (x) - 49 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Simplificar

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

- 49 - cos^{2} (x) + 14 cos (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) + 14 cos (x) - 81 cos^{2} (x) - 49 + 81

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 82 cos^{2} (x)

= - 82 cos^{2} (x) + 14 cos (x) - 49 + 81

Sumar/restar lo siguiente:

- 49 + 81 = 32

= 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

= 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

= 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) + 32

32 + 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

32 + 14 cos (x) - 82 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

32 + 14 u - 82 u^{2} = 0

32 + 14 u - 82 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, u = \frac{7 + 9 33}{82}

32 + 14 u - 82 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 82 u^{2} + 14 u + 32 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 82 u^{2} + 14 u + 32 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 82, b = 14, c = 32

u_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1 4 ^{2} - 4 ( - 82 ) \cdot 32}{2 ( - 82 )}

u_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1 4 ^{2} - 4 ( - 82 ) \cdot 32}{2 ( - 82 )}

1 4^{2} - 4 (- 82) \cdot 32 = 1833

1 4^{2} - 4 (- 82) \cdot 32

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 4^{2} + 4 \cdot 82 \cdot 32

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 82 \cdot 32 = 10496

= 1 4^{2} + 10496

1 4^{2} = 196

= 196 + 10496

Sumar:

196 + 10496 = 10692

= 10692

Descomposición en factores primos de

10692 : 2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 11

10692

10692

divida por

210692 = 5346 \cdot 2

= 2 \cdot 5346

5346

divida por

25346 = 2673 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2673

2673

divida por

32673 = 891 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 891

891

divida por

3891 = 297 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 297

297

divida por

3297 = 99 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 99

99

divida por

399 = 33 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 33

33

divida por

333 = 11 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

2, 3, 11

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 11

= 3^{5} \cdot 2^{2} \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 3 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 3^{4} 3 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 3^{4} 3 \cdot 11

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 2 3 \cdot 11

Simplificar

= 1833

u_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 18 33}{2 ( - 82 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 14 + 18 33}{2 ( - 82 )}, u_{2} = \frac{- 14 - 18 33}{2 ( - 82 )}

u = \frac{- 14 + 18 33}{2 ( - 82 )} : - \frac{- 7 + 9 33}{82}

\frac{- 14 + 18 33}{2 ( - 82 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 14 + 18 33}{- 2 \cdot 82}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 82 = 164

= \frac{- 14 + 18 33}{- 164}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 14 + 18 33}{164}

Cancelar

\frac{- 14 + 18 33}{164} : \frac{9 33 - 7}{82}

\frac{- 14 + 18 33}{164}

Factorizar

- 14 + 1833 : 2 (- 7 + 933)

- 14 + 1833

Reescribir como

= - 2 \cdot 7 + 2 \cdot 933

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 7 + 933)

= \frac{2 ( - 7 + 9 33 )}{164}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 7 + 9 33}{82}

= - \frac{9 33 - 7}{82}

= - \frac{- 7 + 9 33}{82}

u = \frac{- 14 - 18 33}{2 ( - 82 )} : \frac{7 + 9 33}{82}

\frac{- 14 - 18 33}{2 ( - 82 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 14 - 18 33}{- 2 \cdot 82}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 82 = 164

= \frac{- 14 - 18 33}{- 164}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 14 - 1833 = - (14 + 1833)

= \frac{14 + 18 33}{164}

Factorizar

14 + 1833 : 2 (7 + 933)

14 + 1833

Reescribir como

= 2 \cdot 7 + 2 \cdot 933

Factorizar el termino común

2

= 2 (7 + 933)

= \frac{2 ( 7 + 9 33 )}{164}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{7 + 9 33}{82}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, u = \frac{7 + 9 33}{82}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}, cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82} : x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{- 7 + 9 33}{82}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82} : x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{7 + 9 33}{82}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

9 sin (x) = cos (x) - 7

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) = cos (x) - 7

por

x = arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Simplificar

7.54513 \dots = - 7.54513 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) = cos (x) - 7

por

x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Simplificar

- 7.54513 \dots = - 7.54513 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Falso

arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) = cos (x) - 7

por

x = arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Simplificar

6.28413 \dots = - 6.28413 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn :

Verdadero

2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) = cos (x) - 7

por

x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 π 1) - 7

Simplificar

- 6.28413 \dots = - 6.28413 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = - arccos (- \frac{- 7 + 9 33}{82}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 + 9 33}{82}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 2.14734 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.77293 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(θ)= 1/(-sqrt(3))

sin^2(θ)-cos^2(θ)=sin(θ)

4sin(c)+3=sin(c)+1

(tan(x)+1)(sqrt(3)tan(x)-1)=0

tan^2(x)sin(x)-sin(x)=0