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Beliebt Trigonometrie >

-7sin^2(θ)+2sin(θ)+7=0

Lösung

- 7 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) + 7 = 0

Lösung

θ = - 1.04974 \dots + 2 πn, θ = π + 1.04974 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 60.14585 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 240.14585 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 7 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) + 7 = 0

Löse mit Substitution

- 7 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) + 7 = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 7 u^{2} + 2 u + 7 = 0

- 7 u^{2} + 2 u + 7 = 0 : u = - \frac{- 1 + 5 2}{7}, u = \frac{1 + 5 2}{7}

- 7 u^{2} + 2 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 7 u^{2} + 2 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 7, b = 2, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 7}{2 ( - 7 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 7}{2 ( - 7 )}

2^{2} - 4 (- 7) \cdot 7 = 102

2^{2} - 4 (- 7) \cdot 7

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 7 = 196

= 2^{2} + 196

2^{2} = 4

= 4 + 196

Addiere die Zahlen:

4 + 196 = 200

= 200

Primfaktorzerlegung von

200 : 2^{3} \cdot 5^{2}

200

200

ist durch

2200 = 100 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 100

100

ist durch

2100 = 50 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 50

50

ist durch

250 = 25 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5^{2}

= 2^{3} \cdot 5^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 52

Fasse zusammen

= 102

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 10 2}{2 ( - 7 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 10 2}{2 ( - 7 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 10 2}{2 ( - 7 )}

u = \frac{- 2 + 10 2}{2 ( - 7 )} : - \frac{- 1 + 5 2}{7}

\frac{- 2 + 10 2}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 10 2}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 2 + 10 2}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 10 2}{14}

Streiche

\frac{- 2 + 10 2}{14} : \frac{5 2 - 1}{7}

\frac{- 2 + 10 2}{14}

Faktorisiere

- 2 + 102 : 2 (- 1 + 52)

- 2 + 102

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 52

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 52)

= \frac{2 ( - 1 + 5 2 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 5 2}{7}

= - \frac{5 2 - 1}{7}

= - \frac{- 1 + 5 2}{7}

u = \frac{- 2 - 10 2}{2 ( - 7 )} : \frac{1 + 5 2}{7}

\frac{- 2 - 10 2}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 10 2}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 2 - 10 2}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 102 = - (2 + 102)

= \frac{2 + 10 2}{14}

Faktorisiere

2 + 102 : 2 (1 + 52)

2 + 102

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 2 \cdot 52

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 52)

= \frac{2 ( 1 + 5 2 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 5 2}{7}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 5 2}{7}, u = \frac{1 + 5 2}{7}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - \frac{- 1 + 5 2}{7}, sin (θ) = \frac{1 + 5 2}{7}

sin (θ) = - \frac{- 1 + 5 2}{7}, sin (θ) = \frac{1 + 5 2}{7}

sin (θ) = - \frac{- 1 + 5 2}{7} : θ = arcsin (- \frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{- 1 + 5 2}{7}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{- 1 + 5 2}{7}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{- 1 + 5 2}{7}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1 + 5 2}{7} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1 + 5 2}{7}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (- \frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 5 2}{7}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 1.04974 \dots + 2 πn, θ = π + 1.04974 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)-2sin^2(x)+1=0

cos (x) - 2 sin^{2} (x) + 1 = 0

3tan(2x)+sqrt(3)=0,0<= x<2pi

3 tan (2 x) + 3 = 0, 0 \leq x < 2 π

sin(2x)-sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (2 x) - sin (x) cos (x) = cos (x)

cot^2(x)=1-csc(x)

cot^{2} (x) = 1 - csc (x)

2sin^2(θ)+9sin(θ)-5=0

2 sin^{2} (θ) + 9 sin (θ) - 5 = 0