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Beliebt Trigonometrie >

9sin^2(θ)+3cos(θ)-9=-2

Lösung

9 sin^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 9 = - 2

Lösung

θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn, θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grad

θ = 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 sin^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 9 = - 2

Subtrahiere

- 2

von beiden Seiten

9 sin^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 7 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 7 + 3 cos (θ) + 9 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 7 + 3 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 7 + 3 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 2

- 7 + 3 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (θ)) : 9 - 9 cos^{2} (θ)

9 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (θ)

= - 7 + 3 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 7 + 3 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ) : 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 2

- 7 + 3 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) - 7 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 9 = 2

= 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 2

= 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 2

= 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) + 2

2 + 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 3 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 + 3 u - 9 u^{2} = 0

2 + 3 u - 9 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = \frac{2}{3}

2 + 3 u - 9 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 9 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 9 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 9, b = 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 9 ) \cdot 2}{2 ( - 9 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 9 ) \cdot 2}{2 ( - 9 )}

3^{2} - 4 (- 9) \cdot 2 = 9

3^{2} - 4 (- 9) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 3^{2} + 72

3^{2} = 9

= 9 + 72

Addiere die Zahlen:

9 + 72 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 9}{2 ( - 9 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 9}{2 ( - 9 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 9}{2 ( - 9 )}

u = \frac{- 3 + 9}{2 ( - 9 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- 3 + 9}{2 ( - 9 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 9}{- 2 \cdot 9}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 9 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{6}{- 18}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- 3 - 9}{2 ( - 9 )} : \frac{2}{3}

\frac{- 3 - 9}{2 ( - 9 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 9}{- 2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 9 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{- 12}{- 18}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3}, u = \frac{2}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{3}, cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{3}, cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3} : θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn, θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos(3t)-1=0

2 cos (3 t) - 1 = 0

sin(x)+cos(x)-1=0

sin (x) + cos (x) - 1 = 0

tan(θ)=-9

tan (θ) = - 9

tan(θ)=13

tan (θ) = 13

tan(θ)=16

tan (θ) = 16