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Beliebt Trigonometrie >

cos(x/3)-cos(x/(15))=0

Lösung

cos (\frac{x}{3}) - cos (\frac{x}{15}) = 0

Lösung

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn, x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 270 0^{\circ} n, x = 135 0^{\circ} + 270 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 180 0^{\circ} n, x = 90 0^{\circ} + 180 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (\frac{x}{3}) - cos (\frac{x}{15}) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (\frac{x}{15}) + cos (\frac{x}{3})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

Vereinfache

- 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2}) : - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

- 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2} = \frac{x}{5}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}

Füge

\frac{x}{3} + \frac{x}{15}

zusammen:

\frac{2 x}{5}

\frac{x}{3} + \frac{x}{15}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

3, 15 : 15

3, 15

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Primfaktorzerlegung von

15 : 3 \cdot 5

15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 3 \cdot 5

3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 3 \cdot 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

3

oder

15

vorkommt

= 3 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

15

Für

\frac{x}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{x \cdot 5}{15}

= \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x}{15}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 5 + x}{15}

Addiere gleiche Elemente:

5 x + x = 6 x

= \frac{6 x}{15}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{2 x}{5}

= \frac{\frac{2 x}{5}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 x}{5 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{2 x}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{x}{5}

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2} = \frac{2 x}{15}

\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2}

Füge

\frac{x}{3} - \frac{x}{15}

zusammen:

\frac{4 x}{15}

\frac{x}{3} - \frac{x}{15}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

3, 15 : 15

3, 15

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Primfaktorzerlegung von

15 : 3 \cdot 5

15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 3 \cdot 5

3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 3 \cdot 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

3

oder

15

vorkommt

= 3 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

15

Für

\frac{x}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{x \cdot 5}{15}

= \frac{x \cdot 5}{15} - \frac{x}{15}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 5 - x}{15}

Addiere gleiche Elemente:

5 x - x = 4 x

= \frac{4 x}{15}

= \frac{\frac{4 x}{15}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 x}{15 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

15 \cdot 2 = 30

= \frac{4 x}{30}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 x}{15}

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

- 2 sin (\frac{2 x}{15}) sin (\frac{x}{5}) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (\frac{2 x}{15}) = 0 or sin (\frac{x}{5}) = 0

sin (\frac{2 x}{15}) = 0 : x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

sin (\frac{2 x}{15}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{2 x}{15}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn, \frac{2 x}{15} = π + 2 πn

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn, \frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Löse

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn : x = 15 πn

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{2 x}{15} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

15

\frac{2 x}{15} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

15

\frac{15 \cdot 2 x}{15} = 15 \cdot 2 πn

Vereinfache

2 x = 30 πn

2 x = 30 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 30 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{30 πn}{2}

Vereinfache

x = 15 πn

x = 15 πn

Löse

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn : x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

15

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

15

\frac{15 \cdot 2 x}{15} = 15 π + 15 \cdot 2 πn

Vereinfache

2 x = 15 π + 30 πn

2 x = 15 π + 30 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 15 π + 30 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{15 π}{2} + \frac{30 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

sin (\frac{x}{5}) = 0 : x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

sin (\frac{x}{5}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{x}{5}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn, \frac{x}{5} = π + 2 πn

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn, \frac{x}{5} = π + 2 πn

Löse

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn : x = 10 πn

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{5} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

5

\frac{x}{5} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

5

\frac{5 x}{5} = 5 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 10 πn

x = 10 πn

Löse

\frac{x}{5} = π + 2 πn : x = 5 π + 10 πn

\frac{x}{5} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

5

\frac{x}{5} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

5

\frac{5 x}{5} = 5 π + 5 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 5 π + 10 πn

x = 5 π + 10 πn

x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn, x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Graph

Beliebte Beispiele

arctan(x)=3

arctan (x) = 3

tan(x)cos(x)=cos(x)

tan (x) cos (x) = cos (x)

4cos^2(θ)-2=-1

4 cos^{2} (θ) - 2 = - 1

sinh(x)= 7/24 ,cosh(x)

sinh (x) = \frac{7}{24}, cosh (x)

2sin(x)+sin(2x)=cos(x)+1

2 sin (x) + sin (2 x) = cos (x) + 1