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受欢迎的三角函数 >

(3+sin^2(θ))/(cos(θ)-2)=3cos(θ)

解答

\frac{3 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) - 2} = 3 cos (θ)

解答

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

+1

度数

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

\frac{3 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) - 2} = 3 cos (θ)

两边减去

3 cos (θ)

\frac{3 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) - 2} - 3 cos (θ) = 0

化简

\frac{3 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) - 2} - 3 cos (θ) : \frac{3 + sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ( θ ) ( cos ( θ ) - 2 )}{cos ( θ ) - 2}

\frac{3 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) - 2} - 3 cos (θ)

将项转换为分式:

3 cos (θ) = \frac{3 cos ( θ ) ( cos ( θ ) - 2 )}{cos ( θ ) - 2}

= \frac{3 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) - 2} - \frac{3 cos ( θ ) ( cos ( θ ) - 2 )}{cos ( θ ) - 2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ( θ ) ( cos ( θ ) - 2 )}{cos ( θ ) - 2}

\frac{3 + sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ( θ ) ( cos ( θ ) - 2 )}{cos ( θ ) - 2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 + sin^{2} (θ) - 3 cos (θ) (cos (θ) - 2) = 0

使用三角恒等式改写

3 + sin^{2} (θ) - (- 2 + cos (θ)) \cdot 3 cos (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 3 + 1 - cos^{2} (θ) - (- 2 + cos (θ)) \cdot 3 cos (θ)

化简

3 + 1 - cos^{2} (θ) - (- 2 + cos (θ)) \cdot 3 cos (θ) : 6 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 4

3 + 1 - cos^{2} (θ) - (- 2 + cos (θ)) \cdot 3 cos (θ)

= 3 + 1 - cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) (- 2 + cos (θ))

乘开

- 3 cos (θ) (- 2 + cos (θ)) : 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ)

- 3 cos (θ) (- 2 + cos (θ))

使用分配律:

a (b + c) = ab + a c

a = - 3 cos (θ), b = - 2, c = cos (θ)

= - 3 cos (θ) (- 2) + (- 3 cos (θ)) cos (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 3 \cdot 2 cos (θ) - 3 cos (θ) cos (θ)

化简

3 \cdot 2 cos (θ) - 3 cos (θ) cos (θ) : 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ)

3 \cdot 2 cos (θ) - 3 cos (θ) cos (θ)

3 \cdot 2 cos (θ) = 6 cos (θ)

3 \cdot 2 cos (θ)

数字相乘:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos (θ)

3 cos (θ) cos (θ) = 3 cos^{2} (θ)

3 cos (θ) cos (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 3 cos^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= 3 cos^{2} (θ)

= 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ)

= 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ)

= 3 + 1 - cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ)

化简

3 + 1 - cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) : 6 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 4

3 + 1 - cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= - cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) + 3 + 1

同类项相加:

- cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = - 4 cos^{2} (θ)

= - 4 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 3 + 1

数字相加:

3 + 1 = 4

= 6 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 4

= 6 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 4

= 6 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 4

4 - 4 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

用替代法求解

4 - 4 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

4 - 4 u^{2} + 6 u = 0

4 - 4 u^{2} + 6 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 2

4 - 4 u^{2} + 6 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 6 u + 4 = 0

使用求根公式求解

- 4 u^{2} + 6 u + 4 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 4, b = 6, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 4}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 4}{2 ( - 4 )}

6^{2} - 4 (- 4) \cdot 4 = 10

6^{2} - 4 (- 4) \cdot 4

使用法则

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

数字相乘:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 6^{2} + 64

6^{2} = 36

= 36 + 64

数字相加:

36 + 64 = 100

= 100

因式分解数字:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 10}{2 ( - 4 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 6 + 10}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 10}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 6 + 10}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 6 + 10}{2 ( - 4 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 10}{- 2 \cdot 4}

数字相加/相减:

- 6 + 10 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

约分:

4

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 6 - 10}{2 ( - 4 )} : 2

\frac{- 6 - 10}{2 ( - 4 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 10}{- 2 \cdot 4}

数字相减:

- 6 - 10 = - 16

= \frac{- 16}{- 2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 16}{- 8}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{16}{8}

数字相除:

\frac{16}{8} = 2

= 2

二次方程组的解是:

u = - \frac{1}{2}, u = 2

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{2}

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = 2 :

无解

cos (θ) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

无解

合并所有解

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

作图

流行的例子

cos (a) = 0

cos(3x)=(-sqrt(3))/2

cos (3 x) = \frac{- 3}{2}

2cos(2θ)-10sin(θ)-2=-6sin(θ)-3

2 cos (2 θ) - 10 sin (θ) - 2 = - 6 sin (θ) - 3

cos(θ)=csc(θ)

cos (θ) = csc (θ)

cos(2x)+cos(x)=2

cos (2 x) + cos (x) = 2