解答
7cos(x)−24sin(x)=10
解答
x=π+0.69531…+2πn,x=−0.12772…+2πn
+1
度数
x=219.83838…∘+360∘n,x=−7.31797…∘+360∘n求解步骤
7cos(x)−24sin(x)=10
两边加上 24sin(x)7cos(x)=10+24sin(x)
两边进行平方(7cos(x))2=(10+24sin(x))2
两边减去 (10+24sin(x))249cos2(x)−100−480sin(x)−576sin2(x)=0
使用三角恒等式改写
−100−480sin(x)+49cos2(x)−576sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=−100−480sin(x)+49(1−sin2(x))−576sin2(x)
化简 −100−480sin(x)+49(1−sin2(x))−576sin2(x):−625sin2(x)−480sin(x)−51
−100−480sin(x)+49(1−sin2(x))−576sin2(x)
乘开 49(1−sin2(x)):49−49sin2(x)
49(1−sin2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=49,b=1,c=sin2(x)=49⋅1−49sin2(x)
数字相乘:49⋅1=49=49−49sin2(x)
=−100−480sin(x)+49−49sin2(x)−576sin2(x)
化简 −100−480sin(x)+49−49sin2(x)−576sin2(x):−625sin2(x)−480sin(x)−51
−100−480sin(x)+49−49sin2(x)−576sin2(x)
同类项相加:−49sin2(x)−576sin2(x)=−625sin2(x)=−100−480sin(x)+49−625sin2(x)
对同类项分组=−480sin(x)−625sin2(x)−100+49
数字相加/相减:−100+49=−51=−625sin2(x)−480sin(x)−51
=−625sin2(x)−480sin(x)−51
=−625sin2(x)−480sin(x)−51
−51−480sin(x)−625sin2(x)=0
用替代法求解
−51−480sin(x)−625sin2(x)=0
令:sin(x)=u−51−480u−625u2=0
−51−480u−625u2=0:u=−12548+721,u=−12548−721
−51−480u−625u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−625u2−480u−51=0
使用求根公式求解
−625u2−480u−51=0
二次方程求根公式:
若 a=−625,b=−480,c=−51u1,2=2(−625)−(−480)±(−480)2−4(−625)(−51)
u1,2=2(−625)−(−480)±(−480)2−4(−625)(−51)
(−480)2−4(−625)(−51)=7021
(−480)2−4(−625)(−51)
使用法则 −(−a)=a=(−480)2−4⋅625⋅51
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−480)2=4802=4802−4⋅625⋅51
数字相乘:4⋅625⋅51=127500=4802−127500
4802=230400=230400−127500
数字相减:230400−127500=102900=102900
102900质因数分解:22⋅3⋅52⋅73
102900
=73⋅22⋅52⋅3
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=22⋅52⋅72⋅3⋅7
使用根式运算法则: nab=nanb=2252723⋅7
使用根式运算法则: nan=a22=2=252723⋅7
使用根式运算法则: nan=a52=5=2⋅5723⋅7
使用根式运算法则: nan=a72=7=2⋅5⋅73⋅7
整理后得=7021
u1,2=2(−625)−(−480)±7021
将解分隔开u1=2(−625)−(−480)+7021,u2=2(−625)−(−480)−7021
u=2(−625)−(−480)+7021:−12548+721
2(−625)−(−480)+7021
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅625480+7021
数字相乘:2⋅625=1250=−1250480+7021
使用分式法则: −ba=−ba=−1250480+7021
消掉 1250480+7021:12548+721
1250480+7021
分解 480+7021:10(48+721)
480+7021
改写为=10⋅48+10⋅721
因式分解出通项 10=10(48+721)
=125010(48+721)
约分:10=12548+721
=−12548+721
u=2(−625)−(−480)−7021:−12548−721
2(−625)−(−480)−7021
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅625480−7021
数字相乘:2⋅625=1250=−1250480−7021
使用分式法则: −ba=−ba=−1250480−7021
消掉 1250480−7021:12548−721
1250480−7021
分解 480−7021:10(48−721)
480−7021
改写为=10⋅48−10⋅721
因式分解出通项 10=10(48−721)
=125010(48−721)
约分:10=12548−721
=−12548−721
二次方程组的解是:u=−12548+721,u=−12548−721
u=sin(x)代回sin(x)=−12548+721,sin(x)=−12548−721
sin(x)=−12548+721,sin(x)=−12548−721
sin(x)=−12548+721:x=arcsin(−12548+721)+2πn,x=π+arcsin(12548+721)+2πn
sin(x)=−12548+721
使用反三角函数性质
sin(x)=−12548+721
sin(x)=−12548+721的通解sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin(−12548+721)+2πn,x=π+arcsin(12548+721)+2πn
x=arcsin(−12548+721)+2πn,x=π+arcsin(12548+721)+2πn
sin(x)=−12548−721:x=arcsin(−12548−721)+2πn,x=π+arcsin(12548−721)+2πn
sin(x)=−12548−721
使用反三角函数性质
sin(x)=−12548−721
sin(x)=−12548−721的通解sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin(−12548−721)+2πn,x=π+arcsin(12548−721)+2πn
x=arcsin(−12548−721)+2πn,x=π+arcsin(12548−721)+2πn
合并所有解x=arcsin(−12548+721)+2πn,x=π+arcsin(12548+721)+2πn,x=arcsin(−12548−721)+2πn,x=π+arcsin(12548−721)+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 7cos(x)−24sin(x)=10检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arcsin(−12548+721)+2πn的解:假
arcsin(−12548+721)+2πn
代入 n=1arcsin(−12548+721)+2π1
对于 7cos(x)−24sin(x)=10代入x=arcsin(−12548+721)+2π17cos(arcsin(−12548+721)+2π1)−24sin(arcsin(−12548+721)+2π1)=10
整理后得20.74996…=10
⇒假
检验 π+arcsin(12548+721)+2πn的解:真
π+arcsin(12548+721)+2πn
代入 n=1π+arcsin(12548+721)+2π1
对于 7cos(x)−24sin(x)=10代入x=π+arcsin(12548+721)+2π17cos(π+arcsin(12548+721)+2π1)−24sin(π+arcsin(12548+721)+2π1)=10
整理后得10=10
⇒真
检验 arcsin(−12548−721)+2πn的解:真
arcsin(−12548−721)+2πn
代入 n=1arcsin(−12548−721)+2π1
对于 7cos(x)−24sin(x)=10代入x=arcsin(−12548−721)+2π17cos(arcsin(−12548−721)+2π1)−24sin(arcsin(−12548−721)+2π1)=10
整理后得10=10
⇒真
检验 π+arcsin(12548−721)+2πn的解:假
π+arcsin(12548−721)+2πn
代入 n=1π+arcsin(12548−721)+2π1
对于 7cos(x)−24sin(x)=10代入x=π+arcsin(12548−721)+2π17cos(π+arcsin(12548−721)+2π1)−24sin(π+arcsin(12548−721)+2π1)=10
整理后得−3.88596…=10
⇒假
x=π+arcsin(12548+721)+2πn,x=arcsin(−12548−721)+2πn
以小数形式表示解x=π+0.69531…+2πn,x=−0.12772…+2πn