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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(x)+4cos(x)=1,0<= x<360

Lösung

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}

Lösung

x = 1.36217 \dots, x = 36 0^{\circ} - 1.36217 \dots

Radianten

x = 1.36217 \dots, x = 2 π - 1.36217 \dots

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}

Löse mit Substitution

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Angenommen:

cos (x) = u

4 u^{2} + 4 u = 1

4 u^{2} + 4 u = 1 : u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

4 u^{2} + 4 u = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

4 u^{2} + 4 u = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

4 u^{2} + 4 u - 1 = 1 - 1

Vereinfache

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 42

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} + 16

4^{2} = 16

= 16 + 16

Addiere die Zahlen:

16 + 16 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 2}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 2}{2}

\frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 + 4 2}{8}

Faktorisiere

- 4 + 42 : 4 (- 1 + 2)

- 4 + 42

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 + 42

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 1 + 2)

= \frac{4 ( - 1 + 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{- 1 + 2}{2}

u = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 2}{2}

\frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 - 4 2}{8}

Faktorisiere

- 4 - 42 : - 4 (1 + 2)

- 4 - 42

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 - 42

Klammere gleiche Terme aus

4

= - 4 (1 + 2)

= - \frac{4 ( 1 + 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1 + 2}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ} : x = arccos (\frac{2 - 1}{2}), x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 - 1}{2})

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 36 0^{\circ} n

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 36 0^{\circ}

x = arccos (\frac{2 - 1}{2}), x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 - 1}{2})

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}, 0 \leq x < 36 0^{\circ}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{2 - 1}{2}), x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 - 1}{2})

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.36217 \dots, x = 36 0^{\circ} - 1.36217 \dots

Graph

Beliebte Beispiele