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Beliebt Trigonometrie >

cos(t)+cos(2t)=-1

Lösung

cos (t) + cos (2 t) = - 1

Lösung

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = \frac{2 π}{3} + 2 πn, t = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

t = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (t) + cos (2 t) = - 1

Subtrahiere

- 1

von beiden Seiten

cos (t) + cos (2 t) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (2 t) + cos (t)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (t) - 1 + cos (t)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (t) - 1 + cos (t) : 2 cos^{2} (t) + cos (t)

1 + 2 cos^{2} (t) - 1 + cos (t)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (t) + cos (t) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (t) + cos (t)

= 2 cos^{2} (t) + cos (t)

cos (t) + 2 cos^{2} (t) = 0

Löse mit Substitution

cos (t) + 2 cos^{2} (t) = 0

Angenommen:

cos (t) = u

u + 2 u^{2} = 0

u + 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = - \frac{1}{2}

u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 - 0

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (t)

ein

cos (t) = 0, cos (t) = - \frac{1}{2}

cos (t) = 0, cos (t) = - \frac{1}{2}

cos (t) = 0 : t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (t) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (t) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (t) = - \frac{1}{2} : t = \frac{2 π}{3} + 2 πn, t = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (t) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (t) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

t = \frac{2 π}{3} + 2 πn, t = \frac{4 π}{3} + 2 πn

t = \frac{2 π}{3} + 2 πn, t = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = \frac{2 π}{3} + 2 πn, t = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos(t)=0

cos(θ)= 7/9

1-cot^2(x)=0

cot^2(x)-2csc^2(x)+5=0

3tan(x)=sqrt(3),0<= x<2pi