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Beliebt Trigonometrie >

2tan^2(x)-sec(x)=1

Lösung

2 tan^{2} (x) - sec (x) = 1

Lösung

x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 tan^{2} (x) - sec (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 tan^{2} (x) - sec (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sec (x) + 2 tan^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 1 - sec (x) + 2 (sec^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 1 - sec (x) + 2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - sec (x) - 3

- 1 - sec (x) + 2 (sec^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - 2

2 (sec^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = sec^{2} (x), c = 1

= 2 sec^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sec^{2} (x) - 2

= - 1 - sec (x) + 2 sec^{2} (x) - 2

Vereinfache

- 1 - sec (x) + 2 sec^{2} (x) - 2 : 2 sec^{2} (x) - sec (x) - 3

- 1 - sec (x) + 2 sec^{2} (x) - 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sec (x) + 2 sec^{2} (x) - 1 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 2 = - 3

= 2 sec^{2} (x) - sec (x) - 3

= 2 sec^{2} (x) - sec (x) - 3

= 2 sec^{2} (x) - sec (x) - 3

- 3 - sec (x) + 2 sec^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - sec (x) + 2 sec^{2} (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 3 - u + 2 u^{2} = 0

- 3 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - 1

- 3 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2} : \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 5 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{2}, u = - 1

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = \frac{3}{2}, sec (x) = - 1

sec (x) = \frac{3}{2}, sec (x) = - 1

sec (x) = \frac{3}{2} : x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

sec (x) = \frac{3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sec (x) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sec (x) = \frac{3}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{3}{2}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.84106 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos(x)=2sin(x)

2 cos (x) = 2 sin (x)

csc^2(x)=csc(x)+2

csc^{2} (x) = csc (x) + 2

tan(θ)= 7/4

tan (θ) = \frac{7}{4}

sin(x+20)=cos(2x+25)

sin (x + 2 0^{\circ}) = cos (2 x + 2 5^{\circ})

-sin(x)-cos(2x)=0

- sin (x) - cos (2 x) = 0