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sin(2θ)=4cos(θ)

Lösung

sin (2 θ) = 4 cos (θ)

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 θ) = 4 cos (θ)

Subtrahiere

4 cos (θ)

von beiden Seiten

sin (2 θ) - 4 cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 θ) - 4 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) - 4 cos (θ)

- 4 cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 4 cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) : 2 cos (θ) (sin (θ) - 2)

- 4 cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Schreibe

- 4

um:

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 cos (θ) + 2 sin (θ) cos (θ)

Klammere gleiche Terme aus

2 cos (θ)

= 2 cos (θ) (- 2 + sin (θ))

2 cos (θ) (sin (θ) - 2) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (θ) = 0 or sin (θ) - 2 = 0

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) - 2 = 0 :

Keine Lösung

sin (θ) - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

sin (θ) - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

sin (θ) - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

sin (θ) = 2

sin (θ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

tan (θ) = \frac{4}{4}

tan (θ) = \frac{4}{6}

tan (θ) = \frac{4}{7}

tan (θ) = \frac{4}{8}

cos (2 θ) = 2 - cos (2 θ)