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cos^2(pi/8)

Solução

cos^{2} (\frac{π}{8})

Solução

\frac{2 + 2}{4}

Decimal

0.85355 \dots

Passos da solução

cos^{2} (\frac{π}{8})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{1 + cos ( \frac{π}{4} )}{2}

cos^{2} (\frac{π}{8})

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Trocar lados

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Dividir ambos os lados por

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{π}{8} )}{2}

Simplificar:

2 \cdot \frac{π}{8} = \frac{π}{4}

2 \cdot \frac{π}{8}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{π}{4}

= \frac{1 + cos ( \frac{π}{4} )}{2}

= \frac{1 + cos ( \frac{π}{4} )}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{1 + \frac{2}{2}}{2}

Simplificar

\frac{1 + \frac{2}{2}}{2} : \frac{2 + 2}{4}

\frac{1 + \frac{2}{2}}{2}

Simplificar

1 + \frac{2}{2}

em uma fração:

\frac{2 + 1}{2}

1 + \frac{2}{2}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 2}{2}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 2}{2}

Fatorar

2 + 2 : 2 (2 + 1)

2 + 2

2 = 22

= 22 + 2

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 1)

= \frac{2 ( 2 + 1 )}{2}

Cancelar

\frac{2 ( 2 + 1 )}{2} : \frac{2 + 1}{2}

\frac{2 ( 2 + 1 )}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 1 + 2 )}{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 + 1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 + 1}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 + 1}{2}

= \frac{2 + 1}{2}

= \frac{\frac{2 + 1}{2}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 + 1}{2 \cdot 2}

Racionalizar

\frac{2 + 1}{2 2} : \frac{2 + 2}{4}

\frac{2 + 1}{2 2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{( 2 + 1 ) 2}{2 \cdot 2 2}

(2 + 1) 2 = 2 + 2

(2 + 1) 2

= 2 (2 + 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = 2, c = 1

= 22 + 2 \cdot 1

= 22 + 1 \cdot 2

Simplificar

22 + 1 \cdot 2 : 2 + 2

22 + 1 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2 + 1 \cdot 2

Multiplicar:

1 \cdot 2 = 2

= 2 + 2

= 2 + 2

2 \cdot 22 = 4

2 \cdot 22

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Somar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 + 2}{4}

= \frac{2 + 2}{4}

= \frac{2 + 2}{4}

Exemplos populares