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2sin^2(4x)-2cos(4x)=1,o<= x<= 360

Solução

2 sin^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) = 1, o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

2 sin^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) = 1, o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

Subtrair

1

de ambos os lados

2 sin^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - 2 cos (4 x) + 2 sin^{2} (4 x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - 2 cos (4 x) + 2 (1 - cos^{2} (4 x))

Simplificar

- 1 - 2 cos (4 x) + 2 (1 - cos^{2} (4 x)) : - 2 cos^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) + 1

- 1 - 2 cos (4 x) + 2 (1 - cos^{2} (4 x))

Expandir

2 (1 - cos^{2} (4 x)) : 2 - 2 cos^{2} (4 x)

2 (1 - cos^{2} (4 x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (4 x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (4 x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (4 x)

= - 1 - 2 cos (4 x) + 2 - 2 cos^{2} (4 x)

Simplificar

- 1 - 2 cos (4 x) + 2 - 2 cos^{2} (4 x) : - 2 cos^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) + 1

- 1 - 2 cos (4 x) + 2 - 2 cos^{2} (4 x)

Agrupar termos semelhantes

= - 2 cos (4 x) - 2 cos^{2} (4 x) - 1 + 2

Somar/subtrair:

- 1 + 2 = 1

= - 2 cos^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) + 1

= - 2 cos^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) + 1

= - 2 cos^{2} (4 x) - 2 cos (4 x) + 1

1 - 2 cos (4 x) - 2 cos^{2} (4 x) = 0

Usando o método de substituição

1 - 2 cos (4 x) - 2 cos^{2} (4 x) = 0

Sea:

cos (4 x) = u

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{3 - 1}{2}

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 23

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Somar:

4 + 8 = 12

= 12

Decomposição em fatores primos de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 3 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 3}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 3}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 3}{4}

Cancelar

\frac{2 + 2 3}{4} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{2 + 2 3}{4}

Fatorar

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Reescrever como

= 2 \cdot 1 + 23

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1 + 3}{2}

= - \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )} : \frac{3 - 1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 3}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 23 = - (23 - 2)

= \frac{2 3 - 2}{4}

Fatorar

23 - 2 : 2 (3 - 1)

23 - 2

Reescrever como

= 23 - 2 \cdot 1

Fatorar o termo comum

2

= 2 (3 - 1)

= \frac{2 ( 3 - 1 )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 - 1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{3 - 1}{2}

Substituir na equação

u = cos (4 x)

cos (4 x) = - \frac{1 + 3}{2}, cos (4 x) = \frac{3 - 1}{2}

cos (4 x) = - \frac{1 + 3}{2}, cos (4 x) = \frac{3 - 1}{2}

cos (4 x) = - \frac{1 + 3}{2}, o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ} :

Sem solução

cos (4 x) = - \frac{1 + 3}{2}, o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (4 x) = \frac{3 - 1}{2}, o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ} :

Sem solução

cos (4 x) = \frac{3 - 1}{2}, o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (4 x) = \frac{3 - 1}{2}

Soluções gerais para

cos (4 x) = \frac{3 - 1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

4 x = arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n, 4 x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n

4 x = arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n, 4 x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n

Resolver

4 x = arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n : x = \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

4 x = arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n

Dividir ambos os lados por

4

4 x = arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n

Dividir ambos os lados por

4

\frac{4 x}{4} = \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{4}

Simplificar

x = \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

x = \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

Resolver

4 x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n : x = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

4 x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n

Dividir ambos os lados por

4

4 x = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{3 - 1}{2}) + 36 0^{\circ} n

Dividir ambos os lados por

4

\frac{4 x}{4} = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{4}

Simplificar

\frac{4 x}{4} = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{4}

Simplificar

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Dividir:

\frac{4}{4} = 1

= x

Simplificar

9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{4} : 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{4}

Cancelar

9 0^{\circ} : 9 0^{\circ}

9 0^{\circ}

Eliminar o fator comum:

2

= 9 0^{\circ}

= 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{4}

Cancelar

\frac{36 0 ^{\circ} n}{4} : \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

\frac{36 0 ^{\circ} n}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

= 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

x = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

x = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

x = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

x = \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}, x = 9 0^{\circ} - \frac{arccos ( \frac{3 - 1}{2} )}{4} + \frac{18 0 ^{\circ} n}{2}

Soluções para o intervalo

o^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Gráfico

Exemplos populares