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Beliebt Trigonometrie >

6cos^2(θ)-5=6sin^2(θ)+sin(θ)

Lösung

6 cos^{2} (θ) - 5 = 6 sin^{2} (θ) + sin (θ)

Lösung

θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn, θ = 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 199.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos^{2} (θ) - 5 = 6 sin^{2} (θ) + sin (θ)

Subtrahiere

6 sin^{2} (θ) + sin (θ)

von beiden Seiten

6 cos^{2} (θ) - 5 - 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 - sin (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 6 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 5 - sin (θ) + 6 (1 - sin^{2} (θ)) - 6 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 5 - sin (θ) + 6 (1 - sin^{2} (θ)) - 6 sin^{2} (θ) : - 12 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 1

- 5 - sin (θ) + 6 (1 - sin^{2} (θ)) - 6 sin^{2} (θ)

Multipliziere aus

6 (1 - sin^{2} (θ)) : 6 - 6 sin^{2} (θ)

6 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 6 \cdot 1 - 6 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 1 = 6

= 6 - 6 sin^{2} (θ)

= - 5 - sin (θ) + 6 - 6 sin^{2} (θ) - 6 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 5 - sin (θ) + 6 - 6 sin^{2} (θ) - 6 sin^{2} (θ) : - 12 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 1

- 5 - sin (θ) + 6 - 6 sin^{2} (θ) - 6 sin^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- 6 sin^{2} (θ) - 6 sin^{2} (θ) = - 12 sin^{2} (θ)

= - 5 - sin (θ) + 6 - 12 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin (θ) - 12 sin^{2} (θ) - 5 + 6

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 6 = 1

= - 12 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 1

= - 12 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 1

= - 12 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 1

1 - sin (θ) - 12 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 - sin (θ) - 12 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

1 - u - 12 u^{2} = 0

1 - u - 12 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = \frac{1}{4}

1 - u - 12 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 12 u^{2} - u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 12 u^{2} - u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 12, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) \cdot 1}{2 ( - 12 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) \cdot 1}{2 ( - 12 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 12) \cdot 1 = 7

(- 1)^{2} - 4 (- 12) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 12 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 12 \cdot 1 = 48

4 \cdot 12 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 12 \cdot 1 = 48

= 48

= 1 + 48

Addiere die Zahlen:

1 + 48 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 ( - 12 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 ( - 12 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 ( - 12 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 ( - 12 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 ( - 12 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 7}{- 2 \cdot 12}

Addiere die Zahlen:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{8}{- 24}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{24}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 ( - 12 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 ( - 12 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 7}{- 2 \cdot 12}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{- 6}{- 24}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{24}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3}, u = \frac{1}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - \frac{1}{3}, sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (θ) = - \frac{1}{3}, sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{4} : θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn, θ = 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(1/3 x)=0

sin (\frac{1}{3} x) = 0

2sec^2(x)-2sec(x)=4

2 sec^{2} (x) - 2 sec (x) = 4

sin(2x)=-sin(4x)

sin (2 x) = - sin (4 x)

tan(x)+sin(x)=0

tan (x) + sin (x) = 0

cos(x)(2sin(x)+1)=0,0<= x<= 2pi

cos (x) (2 sin (x) + 1) = 0, 0 \leq x \leq 2 π