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Beliebt Trigonometrie >

cot(θ)+4csc(θ)=6

Lösung

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

Lösung

θ = 0.88277 \dots + 2 πn, θ = 2.58911 \dots + 2 πn

Grad

θ = 50.57910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 148.34553 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

Subtrahiere

6

von beiden Seiten

cot (θ) + 4 csc (θ) - 6 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 = 0

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 : \frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{4}{sin ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{sin ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{4}{sin ( θ )} - 6

Ziehe Brüche zusammen

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{4}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )} - 6

Wandle das Element in einen Bruch um:

6 = \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )} - \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 4 - 6 sin (θ) = 0

Füge

6 sin (θ)

zu beiden Seiten hinzu

cos (θ) + 4 = 6 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(cos (θ) + 4)^{2} = (6 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(6 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

(cos (θ) + 4)^{2} - 36 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(4 + cos (θ))^{2} - 36 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ)) : 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

(4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(4 + cos (θ))^{2} : 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = cos (θ)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

4^{2} = 16

= 16 + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 36 (1 - cos^{2} (θ)) : - 36 + 36 cos^{2} (θ)

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

Vereinfache

16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ) : 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) + 16 - 36

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) = 37 cos^{2} (θ)

= 8 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) + 16 - 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

16 - 36 = - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

- 20 + 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 20 + 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0 : u = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, u = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} + 8 u - 20 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

37 u^{2} + 8 u - 20 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 37, b = 8, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 20 )}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 20 )}{2 \cdot 37}

8^{2} - 4 \cdot 37 (- 20) = 1221

8^{2} - 4 \cdot 37 (- 20)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 20

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 37 \cdot 20 = 2960

= 8^{2} + 2960

8^{2} = 64

= 64 + 2960

Addiere die Zahlen:

64 + 2960 = 3024

= 3024

Primfaktorzerlegung von

3024 : 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

3024

3024

ist durch

23024 = 1512 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 1512

1512

ist durch

21512 = 756 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 756

756

ist durch

2756 = 378 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 378

378

ist durch

2378 = 189 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 189

189

ist durch

3189 = 63 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 63

63

ist durch

363 = 21 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{4} 3^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 3 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 1221

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 12 21}{2 \cdot 37}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37}

u = \frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37} : \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

\frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 8 + 12 21}{74}

Faktorisiere

- 8 + 1221 : 4 (- 2 + 321)

- 8 + 1221

Schreibe um

= - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 321

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 2 + 321)

= \frac{4 ( - 2 + 3 21 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

u = \frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37} : - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

\frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 8 - 12 21}{74}

Faktorisiere

- 8 - 1221 : - 4 (2 + 321)

- 8 - 1221

Schreibe um

= - 4 \cdot 2 - 4 \cdot 321

Klammere gleiche Terme aus

4

= - 4 (2 + 321)

= - \frac{4 ( 2 + 3 21 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, u = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37} : θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37} : θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 6 = 6

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 6 = 6

\Rightarrow Falsch

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.88277 \dots + 2 πn, θ = 2.58911 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)sqrt(2)=-sin(x)

sin (x) 2 = - sin (x)

sin^2(x)-9cos(x)-9=0

sin^{2} (x) - 9 cos (x) - 9 = 0

sin(a)= 8/17

sin (a) = \frac{8}{17}

cot(t)=1

cot (t) = 1

4sin(x)+3=5

4 sin (x) + 3 = 5