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cos(θ)+2cos(θ+240)=1

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Solución

cos(θ)+2cos(θ+240∘)=1

Solución

θ=0.61547…+360∘n,θ=180∘−0.61547…+360∘n
+1
Radianes
θ=0.61547…+2πn,θ=π−0.61547…+2πn
Pasos de solución
cos(θ)+2cos(θ+240∘)=1
Re-escribir usando identidades trigonométricas
cos(θ)+2cos(θ+240∘)=1
Re-escribir usando identidades trigonométricas
cos(θ+240∘)
Utilizar la identidad de suma de ángulos: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(θ)cos(240∘)−sin(θ)sin(240∘)
Simplificar cos(θ)cos(240∘)−sin(θ)sin(240∘):−21​cos(θ)+23​​sin(θ)
cos(θ)cos(240∘)−sin(θ)sin(240∘)
cos(θ)cos(240∘)=−21​cos(θ)
cos(θ)cos(240∘)
cos(240∘)=−21​
cos(240∘)
Re-escribir usando identidades trigonométricas:cos(180∘)cos(60∘)−sin(180∘)sin(60∘)
cos(240∘)
Escribir cos(240∘)como cos(180∘+60∘)=cos(180∘+60∘)
Utilizar la identidad de suma de ángulos: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(180∘)cos(60∘)−sin(180∘)sin(60∘)
=cos(180∘)cos(60∘)−sin(180∘)sin(60∘)
Utilizar la siguiente identidad trivial:cos(180∘)=(−1)
cos(180∘)
cos(x) tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=(−1)
Utilizar la siguiente identidad trivial:cos(60∘)=21​
cos(60∘)
cos(x) tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=21​
Utilizar la siguiente identidad trivial:sin(180∘)=0
sin(180∘)
tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=0
Utilizar la siguiente identidad trivial:sin(60∘)=23​​
sin(60∘)
tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=23​​
=(−1)21​−0⋅23​​
Simplificar=−21​
=(−21​)cos(θ)
Quitar los parentesis: (−a)=−a=−cos(θ)21​
=−21​cos(θ)−sin(240∘)sin(θ)
sin(240∘)=−23​​
sin(240∘)
Re-escribir usando identidades trigonométricas:sin(180∘)cos(60∘)+cos(180∘)sin(60∘)
sin(240∘)
Escribir sin(240∘)como sin(180∘+60∘)=sin(180∘+60∘)
Utilizar la identidad de suma de ángulos: sin(s+t)=sin(s)cos(t)+cos(s)sin(t)=sin(180∘)cos(60∘)+cos(180∘)sin(60∘)
=sin(180∘)cos(60∘)+cos(180∘)sin(60∘)
Utilizar la siguiente identidad trivial:sin(180∘)=0
sin(180∘)
tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=0
Utilizar la siguiente identidad trivial:cos(60∘)=21​
cos(60∘)
cos(x) tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=21​
Utilizar la siguiente identidad trivial:cos(180∘)=(−1)
cos(180∘)
cos(x) tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=(−1)
Utilizar la siguiente identidad trivial:sin(60∘)=23​​
sin(60∘)
tabla de valores periódicos con 360∘n intervalos:
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=23​​
=0⋅21​+(−1)23​​
Simplificar=−23​​
=−21​cos(θ)−(−23​​sin(θ))
Aplicar la regla −(−a)=a=−cos(θ)21​+sin(θ)23​​
=−21​cos(θ)+23​​sin(θ)
cos(θ)+2(−21​cos(θ)+23​​sin(θ))=1
Simplificar cos(θ)+2(−21​cos(θ)+23​​sin(θ)):3​sin(θ)
cos(θ)+2(−21​cos(θ)+23​​sin(θ))
Expandir 2(−21​cos(θ)+23​​sin(θ)):−cos(θ)+3​sin(θ)
2(−21​cos(θ)+23​​sin(θ))
Poner los parentesis utilizando: a(b+c)=ab+aca=2,b=−21​cos(θ),c=23​​sin(θ)=2(−21​cos(θ))+2⋅23​​sin(θ)
Aplicar las reglas de los signos+(−a)=−a=−2⋅21​cos(θ)+2⋅23​​sin(θ)
Simplificar −2⋅21​cos(θ)+2⋅23​​sin(θ):−cos(θ)+3​sin(θ)
−2⋅21​cos(θ)+2⋅23​​sin(θ)
2⋅21​cos(θ)=cos(θ)
2⋅21​cos(θ)
Multiplicar fracciones: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​cos(θ)
Eliminar los terminos comunes: 2=cos(θ)⋅1
Multiplicar: cos(θ)⋅1=cos(θ)=cos(θ)
2⋅23​​sin(θ)=3​sin(θ)
2⋅23​​sin(θ)
Multiplicar fracciones: a⋅cb​=ca⋅b​=223​​sin(θ)
Eliminar los terminos comunes: 2=sin(θ)3​
=−cos(θ)+3​sin(θ)
=−cos(θ)+3​sin(θ)
=cos(θ)−cos(θ)+3​sin(θ)
Sumar elementos similares: cos(θ)−cos(θ)=0=3​sin(θ)
3​sin(θ)=1
3​sin(θ)=1
Restar 1 de ambos lados3​sin(θ)−1=0
Desplace 1a la derecha
3​sin(θ)−1=0
Sumar 1 a ambos lados3​sin(θ)−1+1=0+1
Simplificar3​sin(θ)=1
3​sin(θ)=1
Dividir ambos lados entre 3​
3​sin(θ)=1
Dividir ambos lados entre 3​3​3​sin(θ)​=3​1​
Simplificar
3​3​sin(θ)​=3​1​
Simplificar 3​3​sin(θ)​:sin(θ)
3​3​sin(θ)​
Eliminar los terminos comunes: 3​=sin(θ)
Simplificar 3​1​:33​​
3​1​
Multiplicar por el conjugado 3​3​​=3​3​1⋅3​​
1⋅3​=3​
3​3​=3
3​3​
Aplicar las leyes de los exponentes: a​a​=a3​3​=3=3
=33​​
sin(θ)=33​​
sin(θ)=33​​
sin(θ)=33​​
Aplicar propiedades trigonométricas inversas
sin(θ)=33​​
Soluciones generales para sin(θ)=33​​sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+360∘n,x=180∘−arcsin(a)+360∘nθ=arcsin(33​​)+360∘n,θ=180∘−arcsin(33​​)+360∘n
θ=arcsin(33​​)+360∘n,θ=180∘−arcsin(33​​)+360∘n
Mostrar soluciones en forma decimalθ=0.61547…+360∘n,θ=180∘−0.61547…+360∘n

Gráfica

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Ejemplos populares

arccos(x)= pi/8sin(θ)=5sin^2(x)=4cos(x)-8cos(x)sin(x)=0sin^2(x)-3sin(x)-2=0
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