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人気のある三角関数 >

sin(θ)=1-2cos(θ)

解

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

解

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.64350 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 323.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

両辺を2乗する

sin^{2} (θ) = (1 - 2 cos (θ))^{2}

両辺から

(1 - 2 cos (θ))^{2}

を引く

sin^{2} (θ) - 1 + 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + sin^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

簡素化

= 4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ)

4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

置換で解く

4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

4 u - 5 u^{2} = 0

4 u - 5 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{4}{5}

4 u - 5 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} + 4 u = 0

解くとthe二次式

- 5 u^{2} + 4 u = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 5, b = 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

4^{2} - 4 (- 5) \cdot 0 = 4

4^{2} - 4 (- 5) \cdot 0

規則を適用

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 4^{2} + 0

4^{2} + 0 = 4^{2}

= 4^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a,

, 以下を想定

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4}{2 ( - 5 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )} : 0

\frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 4}{- 2 \cdot 5}

数を足す/引く:

- 4 + 4 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 5}

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{- 10}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{10}

規則を適用

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )} : \frac{4}{5}

\frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 4}{- 2 \cdot 5}

数を引く:

- 4 - 4 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 5}

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 8}{- 10}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{10}

共通因数を約分する:

2

= \frac{4}{5}

二次equationの解:

u = 0, u = \frac{4}{5}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

以下の一般解

cos (θ) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5} : θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{4}{5}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

\frac{π}{2} + 2 πn :

真

\frac{π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1 - 2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

偽

\frac{3 π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1 - 2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

改良

- 1 = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

偽

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

改良

0.6 = - 0.6

\Rightarrow 偽

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

真

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

改良

- 0.6 = - 0.6

\Rightarrow 真

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.64350 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

6sec^2(x)-6sec(x)=12

6 sec^{2} (x) - 6 sec (x) = 12

sin(a)=(sqrt(2))/2

sin (a) = \frac{2}{2}

sin^2(x)-cos(x)=1

sin^{2} (x) - cos (x) = 1

cos^2(x)+2sin(x)+2=0

cos^{2} (x) + 2 sin (x) + 2 = 0

cos (x) = 9