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Popular Trigonometria >

2cos(x)-7=4sec(x)

Solução

2 cos (x) - 7 = 4 sec (x)

Solução

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos (x) - 7 = 4 sec (x)

Subtrair

4 sec (x)

de ambos os lados

2 cos (x) - 7 - 4 sec (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 7 + 2 cos (x) - 4 sec (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 7 + 2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} - 4 sec (x)

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{2}{sec ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ( x )}

= - 7 + \frac{2}{sec ( x )} - 4 sec (x)

- 7 + \frac{2}{sec ( x )} - 4 sec (x) = 0

Usando o método de substituição

- 7 + \frac{2}{sec ( x )} - 4 sec (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{4}

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 7 u + \frac{2}{u} u - 4 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 7 u + \frac{2}{u} u - 4 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 2

Simplificar

- 4 uu : - 4 u^{2}

- 4 uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 4 u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= - 4 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

Resolver

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{4}

- 7 u + 2 - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = - 7, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 2}{2 ( - 4 )}

(- 7)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2 = 9

(- 7)^{2} - 4 (- 4) \cdot 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 7)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 7^{2} + 32

7^{2} = 49

= 49 + 32

Somar:

49 + 32 = 81

= 81

Fatorar o número:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 9}{2 ( - 4 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 4 )} : - 2

\frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 + 9}{- 2 \cdot 4}

Somar:

7 + 9 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{16}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{8}

Dividir:

\frac{16}{8} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 - 9}{- 2 \cdot 4}

Subtrair:

7 - 9 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 2, u = \frac{1}{4}

u = - 2, u = \frac{1}{4}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- 7 + \frac{2}{u} - 4 u

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = - 2, u = \frac{1}{4}

Substituir na equação

u = sec (x)

sec (x) = - 2, sec (x) = \frac{1}{4}

sec (x) = - 2, sec (x) = \frac{1}{4}

sec (x) = - 2 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 2

Soluções gerais para

sec (x) = - 2

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = \frac{1}{4} :

Sem solução

sec (x) = \frac{1}{4}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin^2(x)-3=2sin(x)

tan^2(x)-(sqrt(3)+1)tan(x)+sqrt(3)=0

6cos(θ)=3

4cos^3(x)=cos(x)

csc^5(θ)-4csc(θ)=0