zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

tan(2θ)-tan(θ)=0,0<θ<2pi

解答

tan (2 θ) - tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

解答

θ = π

+1

度数

θ = 18 0^{\circ}

求解步骤

tan (2 θ) - tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

使用三角恒等式改写

tan (2 θ) - tan (θ)

使用倍角公式:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ)

化简

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ) : \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ)

将项转换为分式:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - \frac{tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) - tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

乘开

2 tan (θ) - tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : tan (θ) + tan^{3} (θ)

2 tan (θ) - tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

乘开

- tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : - tan (θ) + tan^{3} (θ)

- tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - tan (θ), b = 1, c = tan^{2} (θ)

= - tan (θ) \cdot 1 - (- tan (θ)) tan^{2} (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ)

化简

- 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ) : - tan (θ) + tan^{3} (θ)

- 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ)

1 \cdot tan (θ) = tan (θ)

1 \cdot tan (θ)

乘以:

1 \cdot tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ)

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{3} (θ)

tan^{2} (θ) tan (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{2 + 1} (θ)

= tan^{2 + 1} (θ)

数字相加:

2 + 1 = 3

= tan^{3} (θ)

= - tan (θ) + tan^{3} (θ)

= - tan (θ) + tan^{3} (θ)

= 2 tan (θ) - tan (θ) + tan^{3} (θ)

同类项相加:

2 tan (θ) - tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ) + tan^{3} (θ)

= \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

用替代法求解

\frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

令

: tan (θ) = u

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

u + u^{3} = 0

解

u + u^{3} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

u + u^{3} = 0

因式分解

u + u^{3} : u (u^{2} + 1)

u + u^{3}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= u^{2} u + u

因式分解出通项

u

= u (u^{2} + 1)

u (u^{2} + 1) = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

u = 0 or u^{2} + 1 = 0

解

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

将

1

到右边

u^{2} + 1 = 0

两边减去

1

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

对于

x^{2} = f (a)

解为

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

化简

- 1 : i

- 1

使用虚数运算法则:

- 1 = i

= i

化简

- - 1 : - i

- - 1

使用虚数运算法则:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

解为

u = 0, u = i, u = - i

u = 0, u = i, u = - i

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 1, u = - 1

取

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}}

的分母，令其等于零

解

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

将

1

到右边

1 - u^{2} = 0

两边减去

1

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

化简

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

两边除以

- 1

- u^{2} = - 1

两边除以

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

化简

u^{2} = 1

u^{2} = 1

对于

x^{2} = f (a)

解为

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

使用根式运算法则:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

使用根式运算法则:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

以下点无定义

u = 1, u = - 1

将不在定义域的点与解相综合:

u = 0, u = i, u = - i

u = tan (θ)

代回

tan (θ) = 0, tan (θ) = i, tan (θ) = - i

tan (θ) = 0, tan (θ) = i, tan (θ) = - i

tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π : θ = π

tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

tan (θ) = 0

的通解

tan (x)

周期表（周期为

πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

解

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

在

0 < θ < 2 π

范围内的解

θ = π

tan (θ) = i, 0 < θ < 2 π :

无解

tan (θ) = i, 0 < θ < 2 π

在

0 < θ < 2 π

范围内的解

无解

tan (θ) = - i, 0 < θ < 2 π :

无解

tan (θ) = - i, 0 < θ < 2 π

在

0 < θ < 2 π

范围内的解

无解

合并所有解

θ = π

作图

流行的例子

-8cos(x)=-6sec(x)+8

- 8 cos (x) = - 6 sec (x) + 8

cos(2θ)+sin(θ)=1

cos (2 θ) + sin (θ) = 1

4 cos (x) - 1 = 0

2sin(x)-sqrt(3)=0,0<= x<= 2pi

2 sin (x) - 3 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

8cos(x)+4sin(2x)=0

8 cos (x) + 4 sin (2 x) = 0