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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-csc^2(x)=tan^2(x)-cot^2(x)

Lösung

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

Subtrahiere

tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) - tan^{2} (x) + cot^{2} (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

cot^{2} (x) - csc^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - csc^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - 1 ) + sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{sin ^{2} ( x )} + sin^{2} (x) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} + sin^{2} (x) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{1} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin^{2} (x), 1, cos^{2} (x) : sin^{2} (x) cos^{2} (x)

sin^{2} (x), 1, cos^{2} (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Für

\frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (x)

\frac{cos ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Für

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} = \frac{sin ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Für

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (x)

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x ) + sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - 1 ) + sin ^{4} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

\frac{- sin ^{4} ( x ) + ( - 1 + cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- sin^{4} (x) + (- 1 + cos^{2} (x)) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{4} (x) = 0

Faktorisiere

- sin^{4} (x) + (- 1 + cos^{2} (x)) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{4} (x) : (- 1 + cos (x)) (1 + cos (x)) (sin^{4} (x) + cos^{2} (x))

- sin^{4} (x) + (- 1 + cos^{2} (x)) cos^{2} (x) + cos^{2} (x) sin^{4} (x)

Faktorisiere

- 1 + cos^{2} (x) : (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

- 1 + cos^{2} (x)

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - 1^{2} = (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= - sin^{4} (x) + cos^{2} (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) + sin^{4} (x) cos^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin^{4} (x)

= sin^{4} (x) (- 1 + cos^{2} (x)) + (1 + cos (x)) (- 1 + cos (x)) cos^{2} (x)

Faktorisiere

cos^{2} (x) - 1 : (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

- 1 + cos^{2} (x)

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - 1^{2} = (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

= sin^{4} (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) + cos^{2} (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1)

Klammere gleiche Terme aus

(- 1 + cos (x)) (1 + cos (x))

= (- 1 + cos (x)) (1 + cos (x)) (sin^{4} (x) + cos^{2} (x))

(- 1 + cos (x)) (1 + cos (x)) (sin^{4} (x) + cos^{2} (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

- 1 + cos (x) = 0 or 1 + cos (x) = 0 or sin^{4} (x) + cos^{2} (x) = 0

- 1 + cos (x) = 0 : x = 2 πn

- 1 + cos (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + cos (x) = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + cos (x) + 1 = 0 + 1

Vereinfache

cos (x) = 1

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

1 + cos (x) = 0 : x = π + 2 πn

1 + cos (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sin^{4} (x) + cos^{2} (x) = 0 :

Keine Lösung

sin^{4} (x) + cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) + sin^{4} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin^{4} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - sin^{2} (x) + sin^{4} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 - u^{2} + u^{4} = 0

1 - u^{2} + u^{4} = 0 : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

1 - u^{2} + u^{4} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{2} + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

a = u^{2}

und

a^{2} = u^{4}

a^{2} - a + 1 = 0

Löse

a^{2} - a + 1 = 0 : a = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

a^{2} - a + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

a^{2} - a + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = 1

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : 3 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= - 3

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 3 i

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3 i}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

a_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}, a_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

a = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 3 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 3 i}{2}

Schreibe

\frac{1 + 3 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

\frac{1 + 3 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

a = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 3 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 3 i}{2}

Schreibe

\frac{1 - 3 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{1 - 3 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 3 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

a = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

a = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Setze

a = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Ersetze

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Schreibe

(a + bi)^{2}

um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Fasse zusammen

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Schreibe

a^{2} + 2 iab - b^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{3}{2}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{3}{2}] : (a = \frac{3}{2}, a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{3}{2}]

Stelle

a

nach

2 ab = \frac{3}{2}

um:

a = \frac{3}{4 b}

2 ab = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

2 ab = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b

= a

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2}}{2 b} : \frac{3}{4 b}

\frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 b}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 b}

a = \frac{3}{4 b}

a = \frac{3}{4 b}

a = \frac{3}{4 b}

Setze die Lösungen

a = \frac{3}{4 b}

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

ein

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

\frac{3}{4 b} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

\frac{3}{4 b}

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Löse

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

(\frac{3}{4 b})^{2} : \frac{3}{16 b ^{2}}

(\frac{3}{4 b})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 b ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 b)^{2} = 4^{2} b^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} b ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} b ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 b ^{2}}

\frac{3}{16 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

16 b^{2}, 2 : 16 b^{2}

16 b^{2}, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

16, 2 : 16

16, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

16

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

16 b^{2}

oder

2

auftauchen.

= 16 b^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

16 b^{2}

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} : 3

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 b ^{2}}{16 b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{3 b ^{2}}{b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b^{2}

= 3

Vereinfache

- b^{2} \cdot 16 b^{2} : - 16 b^{4}

- b^{2} \cdot 16 b^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 16 b^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 16 b^{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2} : 8 b^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} b^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Löse

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Verschiebe

8 b^{2}

auf die linke Seite

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Subtrahiere

8 b^{2}

von beiden Seiten

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 8 b^{2} - 8 b^{2}

Vereinfache

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 16 b^{4} - 8 b^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = b^{2}

und

u^{2} = b^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Addiere die Zahlen:

64 + 192 = 256

= 256

Faktorisiere die Zahl:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Addiere die Zahlen:

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Setze

u = b^{2} w i e d er e in,

löse für

b

Löse

b^{2} = - \frac{3}{4} :

Keine Lösung für

b \in R

b^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r b \in R

Löse

b^{2} = \frac{1}{4} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

b = \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

b = 0

Nimm den/die Nenner von

(\frac{3}{4 b})^{2} - b^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

4 b = 0 : b = 0

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 b}{4} = \frac{0}{4}

Vereinfache

b = 0

b = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

b = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Setze die Lösungen

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

2 ab = \frac{3}{2}

ein

Für

2 ab = \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{1}{2} : a = \frac{3}{2}

Für

2 ab = \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{1}{2}

2 a \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Löse

2 a \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : a = \frac{3}{2}

2 a \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} a = \frac{3}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

a \cdot 1 = \frac{3}{2}

Multipliziere:

a \cdot 1 = a

a = \frac{3}{2}

Für

2 ab = \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{1}{2} : a = - \frac{3}{2}

Für

2 ab = \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{1}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Löse

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} : a = - \frac{3}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

2 a (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 a \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 a \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 a \frac{1}{2} : a

2 a \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 a}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1 \cdot a

Multipliziere:

1 \cdot a = a

= a

= \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{a}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= a

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : - \frac{3}{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{\frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

= - \frac{3}{2}

a = - \frac{3}{2}

a = - \frac{3}{2}

a = - \frac{3}{2}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 ab = \frac{3}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

Wahr

2 ab = \frac{3}{2}

Setze ein

a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Fasse zusammen

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

Wahr

2 ab = \frac{3}{2}

Setze ein

a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Fasse zusammen

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}, 2 ab = \frac{3}{2}

(a = \frac{3}{2}, a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

Setze in

u = a + bi

ein

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Löse

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} : u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Ersetze

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Schreibe

(a + bi)^{2}

um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Fasse zusammen

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Schreibe

a^{2} + 2 iab - b^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{3}{2}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{3}{2}] : (a = - \frac{3}{2}, a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{3}{2}]

Stelle

a

nach

2 ab = - \frac{3}{2}

um:

a = - \frac{3}{4 b}

2 ab = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

2 ab = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b

= a

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2}}{2 b} : - \frac{3}{4 b}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 b}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 b}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 b} = \frac{3}{2 \cdot 2 b}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 b}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 b}

a = - \frac{3}{4 b}

a = - \frac{3}{4 b}

a = - \frac{3}{4 b}

Setze die Lösungen

a = - \frac{3}{4 b}

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

ein

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

- \frac{3}{4 b} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

- \frac{3}{4 b}

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Löse

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

(- \frac{3}{4 b})^{2} : \frac{3}{16 b ^{2}}

(- \frac{3}{4 b})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{4 b})^{2} = (\frac{3}{4 b})^{2}

= (\frac{3}{4 b})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 b ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 b)^{2} = 4^{2} b^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} b ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} b ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 b ^{2}}

\frac{3}{16 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

16 b^{2}, 2 : 16 b^{2}

16 b^{2}, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

16, 2 : 16

16, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

16

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

16 b^{2}

oder

2

auftauchen.

= 16 b^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

16 b^{2}

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} : 3

\frac{3}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 b ^{2}}{16 b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{3 b ^{2}}{b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b^{2}

= 3

Vereinfache

- b^{2} \cdot 16 b^{2} : - 16 b^{4}

- b^{2} \cdot 16 b^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 16 b^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 16 b^{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2} : 8 b^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} b^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Löse

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Verschiebe

8 b^{2}

auf die linke Seite

3 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Subtrahiere

8 b^{2}

von beiden Seiten

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 8 b^{2} - 8 b^{2}

Vereinfache

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

3 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 16 b^{4} - 8 b^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = b^{2}

und

u^{2} = b^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Addiere die Zahlen:

64 + 192 = 256

= 256

Faktorisiere die Zahl:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Addiere die Zahlen:

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Setze

u = b^{2} w i e d er e in,

löse für

b

Löse

b^{2} = - \frac{3}{4} :

Keine Lösung für

b \in R

b^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r b \in R

Löse

b^{2} = \frac{1}{4} : b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

b = \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

b = 0

Nimm den/die Nenner von

(- \frac{3}{4 b})^{2} - b^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

4 b = 0 : b = 0

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 b}{4} = \frac{0}{4}

Vereinfache

b = 0

b = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

b = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

Setze die Lösungen

b = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}

2 ab = - \frac{3}{2}

ein

Für

2 ab = - \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{1}{2} : a = - \frac{3}{2}

Für

2 ab = - \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{1}{2}

2 a \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Löse

2 a \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} : a = - \frac{3}{2}

2 a \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} a = - \frac{3}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

a \cdot 1 = - \frac{3}{2}

Multipliziere:

a \cdot 1 = a

a = - \frac{3}{2}

Für

2 ab = - \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{1}{2} : a = \frac{3}{2}

Für

2 ab = - \frac{3}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{1}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Löse

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} : a = \frac{3}{2}

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

2 a (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 a \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 a \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 a \frac{1}{2} : a

2 a \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 a}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1 \cdot a

Multipliziere:

1 \cdot a = a

= a

= \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{a}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= a

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : \frac{3}{2}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- \frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

a = \frac{3}{2}

a = \frac{3}{2}

a = \frac{3}{2}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 ab = - \frac{3}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2} :

Wahr

2 ab = - \frac{3}{2}

Setze ein

a = \frac{3}{2}, b = - \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Fasse zusammen

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} :

Wahr

2 ab = - \frac{3}{2}

Setze ein

a = - \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Fasse zusammen

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}, 2 ab = - \frac{3}{2}

(a = - \frac{3}{2}, a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} b = - \frac{1}{2})

Setze in

u = a + bi

ein

u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Die Lösungen sind

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

2 πn, π + 2 πn

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)= 53/54

sin (x) = \frac{53}{54}

2sin^2(x)+sin(x)-3=0

2 sin^{2} (x) + sin (x) - 3 = 0

(2cos(x)-1)sin(x)=0

(2 cos (x) - 1) sin (x) = 0

solvefor u,x=4sin(u)

so l v e f or u, x = 4 sin (u)

2cos(θ)=sqrt(2),0<= θ<2pi

2 cos (θ) = 2, 0 \leq θ < 2 π