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Popolare Trigonometria >

tan(x)=sec(x)-sqrt(3)

Soluzione

tan (x) = sec (x) - 3

Soluzione

x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gradi

x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan (x) = sec (x) - 3

Sottrarre

sec (x) - 3

da entrambi i lati

tan (x) - sec (x) + 3 = 0

Esprimere con sen e cos

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} + 3 = 0

Semplifica

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} + 3 : \frac{sin ( x ) - 1 + 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} + 3

Combinare le frazioni

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )} + 3

Converti l'elemento in frazione:

3 = \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) - 1}{cos ( x )} + \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 1 + 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - 1 + 3 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - 1 + 3 cos (x) = 0

Sottrarre

3 cos (x)

da entrambi i lati

sin (x) - 1 = - 3 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(sin (x) - 1)^{2} = (- 3 cos (x))^{2}

Sottrarre

(- 3 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

(sin (x) - 1)^{2} - 3 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(- 1 + sin (x))^{2} - 3 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

(- 1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

(- 1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x))

(- 1 + sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (x) + sin^{2} (x)

Semplifica

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin (x) + sin^{2} (x)

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

- 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 3 + 3 sin^{2} (x)

- 3 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Semplifica

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x) : 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 1 - 3

Aggiungi elementi simili:

sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) = 4 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) + 1 - 3

Aggiungi/Sottrai i numeri:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 2

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 - 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Aggiungi i numeri:

4 + 32 = 36

= 36

Fattorizzare il numero:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Applicare la regola della radice:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Aggiungi i numeri:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Sottrai i numeri:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{1}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluzioni generali per

sin (x) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

tan (x) = sec (x) - 3

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

tan (x) = sec (x) - 3

inserisci la

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) = sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 3

Affinare

\infty = \infty

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Per

tan (x) = sec (x) - 3

inserisci la

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - 3

Affinare

0.57735 \dots = - 2.88675 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Vero

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Per

tan (x) = sec (x) - 3

inserisci la

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) - 3

Affinare

- 0.57735 \dots = - 0.57735 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Poiché l'equazione è non definita per:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

3sin(2x)=2cos(2x)

cos(x)= 13/20

sin^2(x)=3cos(x)

cos((7pi)/8-x)=(sqrt(2))/2

5sin^2(x)+3sin(x)=2